23、小波变换与滤波器组：原理、设计与应用

小波变换与滤波器组：原理、设计与应用

1. 基本概念

在信号处理领域，小波变换是一种强大的工具，而滤波器组则是实现小波变换的重要手段。首先，我们来了解一些基本的概念和操作。

1.1 抽取器与扩展器

• 抽取器（↓M） ：其变换域关系为 (Y(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M - 1} X(z^{\frac{1}{M}} e^{-j\frac{2\pi k}{M}}))，有时也简记为 (Y(z) = X(z) \downarrow_M) 或 (Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \downarrow_M)。
• 扩展器（↑M） ：定义为 (y(n) = \begin{cases} x(\frac{n}{M}), & n \text{ 是 } M \text{ 的倍数} \ 0, & \text{ 否则} \end{cases})，其变换域关系为 (Y(z) = X(z^M))，即 (Y(e^{j\omega}) = X(e^{jM\omega}))。

1.2 子带重构

在许多应用中，我们希望从抽取后的子带信号 (y_k(n)) 中重构出原始信号 (x(n))。具体操作是将 (y_k(n)) 通过扩展器，然后与合成滤波器 (G_s(z)) 和 (H_s(z)) 相结合。如果重构信号 (\hat{x}(n) = c x(n - n_0))（其中 (c \neq 0) 且 (n_0) 为整数），则称该系统具有完美重构（PR）特性。然而，由于子带量化、滤