57、轮廓波及其应用：从滤波器组到图像分解的深入解析

轮廓波及其应用：从滤波器组到图像分解的深入解析

在图像处理领域，轮廓波（Contourlets）相关的滤波器组技术为图像的多尺度和多方向分解提供了强大的工具。本文将详细介绍拉普拉斯金字塔（LP）滤波器组、方向滤波器组（DFB）以及轮廓波滤波器组的原理、设计和应用。

1. 拉普拉斯金字塔（LP）滤波器组

LP 滤波器组是实现图像多分辨率逼近的重要工具。它通过级联一系列滤波器组，将图像的频率内容分解为多个层次。

• 高斯金字塔与带通序列 ：输出序列 ${x_k} {k = 1,2,\cdots,K}$ 被称为高斯金字塔，通常使用高斯低通滤波器。生成带通序列 ${d_k} {k = 1,2,\cdots,K}$ 的滤波结构称为 LP。随着 $x_k$ 的进一步分解，最终输出是细节图像序列 $d_k$，只有最后一级有一个低分辨率图像，从而形成一个通常称为 LP 的滤波器组。
• 与小波框架的关联 ：小波变换可以通过计算从精细到粗糙的多分辨率分解来实现。LP 滤波器组的滤波器 $H$ 和 $G$ 可用于确定母/父小波，从而定义小波框架。在 LP 滤波器组中，帧算子 $\hat{K}_i$ 定义为 $\hat{K}_i(x,\varphi_i) = \langle x,\varphi_i\rangle$，其中每个 $\varphi_i$ 是矩阵 $\Phi(z)$ 的第 $(i + 1)$ 行。这表明 LP 为任何有界输入提供有界输出，在 $l^2(Z^2)$ 中提供帧展开。
• 正交性与完美重建 ：非正交帧