14、椭圆曲线离散对数问题与密码学应用

椭圆曲线离散对数问题与密码学应用

椭圆曲线离散对数问题的攻击方法

在椭圆曲线离散对数问题中，有多种攻击算法。对于任意椭圆曲线，Baby Step/Giant Step 以及 Pollard ρ 和 λ 方法似乎是较为优秀的算法。不过，在某些情况下，指数微积分技术可用于高亏格曲线的雅可比簇，以解决特定椭圆曲线的离散对数问题，但这些方法的普遍适用性并不明确。

还有一种由 Silverman 提出的有趣方法，称为 xedni 微积分。假设要在曲线 $E$ 上找到 $k$ 使得 $Q = kP$，可以将 $E$、$P$ 和 $Q$ 提升到整数环 $\mathbb{Z}$ 上的椭圆曲线 $\tilde{E}$ 以及对应的点 $\tilde{P}$ 和 $\tilde{Q}$。若能找到 $k’$ 使得 $\tilde{Q} = k’\tilde{P}$，那么 $Q = k’P$。然而，通常 $\tilde{P}$ 和 $\tilde{Q}$ 是独立的，不存在这样的 $k’$。Silverman 的思路是从几个（最多 9 个）形如 $a_iP + b_iQ$ 的点开始，将它们提升到有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的曲线。具体操作如下：
1. 为每个点选择提升到 $\mathbb{Z}$ 的表示。
2. 写出包含这些提升点的任意三次曲线。
3. 由于点在曲线上会给出关于三次方程系数的线性方程，使用线性代数求解这些系数。
4. 将此曲线转换为 Weierstrass 形式。

期望的是，在 $\mathbb{Q}$ 上的曲线大多最多有 2 个独立点，因此提升后的点之间可能存在关系，将这些关系模 $p$ 约简可得到 $P$ 和 $Q$ 之间的关系，从而解决