44、线性方程组并行算法练习与实现

线性方程组并行算法练习与实现

1. 并行超级节点算法概述

在并行计算中，超级节点任务的执行和分配是一个重要的环节。对于每个 ( j \in J )，从左到右执行 ( smod(j, J) ) 和 ( cdiv(j) ) 操作，同时对所有 ( k \in Struct(L^*(last(J))) ) 执行 ( smod(k, J) ) 操作。这里 ( N ) 表示超级节点的数量。

准备好执行的超级节点任务 ( Tsup(J) ) 会被存放在一个中央任务池中，空闲的处理器可以访问这个任务池。任务池初始化为准备完成的超级节点，即那些第一列是消元树中叶子节点的超级节点。如果任务 ( Tsup(J) ) 执行 ( cmod(k, J) ) 操作完成了另一个超级节点 ( K > J ) 的修改，那么对应的任务 ( Tsup(K) ) 会被插入到任务池中。

为了实现超级节点任务的分配，会为超级节点的每一列 ( j ) 维护一个计数器 ( c_j )。每个计数器初始化为 0，每当对列 ( j ) 执行一次修改操作时，计数器就会加 1。忽略超级节点内部列的修改，当列 ( j \in J ) 的计数器达到 ( |Struct(L_j^*)| ) 时，超级节点任务 ( Tsup(J) ) 就可以执行了。计数器的实现以及列的操作需要进行保护，例如使用锁机制。对于 ( smod(k, J) ) 操作对列 ( k \notin J ) 的操作，需要锁定列 ( k ) 以避免不同处理器的并发操作。

下面是一个简单的流程图来展示这个过程：

graph TD;
    A[初始化任务池] --> B