4、线性方程组求解方法与技巧

线性方程组求解方法与技巧

1. 高斯消元法与部分主元法

高斯消元法是求解线性方程组的经典方法，其核心思想是将方程组化为上三角形式，然后通过回代求解。部分主元法是在高斯消元过程中，通过交换行的方式，选择绝对值最大的元素作为主元，以提高计算的稳定性和准确性。

1.1 部分主元高斯消元法步骤

• 化为上三角形式 ：对于 $i = 1,2,\cdots,n - 1$，进行以下操作：
  1. 从 $j = i,i + 1,\cdots,n$ 中找到使得 $|a_{ji}|$ 最大的 $j$。
  2. 如果 $i \neq j$，交换第 $i$ 行和第 $j$ 行（包括 $b_i$ 和 $b_j$）。
  3. 从第 $i + 1,i + 2,\cdots,n$ 行中减去第 $i$ 行的倍数（包括 $b_i$），使得这些行中 $x_i$ 的系数为 0。
• 回代求解 ：
  1. $x_n = \frac{b_n}{a_{nn}}$。
  2. 对于 $i = n - 1,n - 2,\cdots,1$，$x_i = \frac{b_i - \sum_{j = i + 1}^{n} a_{ij}x_j}{a_{ii}}$。

部分主元法在求解大型方程组时，能有效减少舍入误差的影响，提高解的准确性。例如，在一个具体的方程组求解中，未使用部分主元法得到的解为 $x_1 = 1.00000, x_2 =