48、线性方程组系统的并行算法与实践

线性方程组系统的并行算法与实践

1. 并行超节点算法

1.1 基本概念

并行超节点算法的实现依赖于将矩阵划分为基本超节点。一个超节点 (I(p) = {p, p + 1, \ldots, p + q - 1}) 若满足对于 (0 \leq i \leq q - 2)，有 (children(p + i + 1) = {p + i})，即在消元树中节点 (p + i) 是 (p + i + 1) 的唯一子节点，那么它就是一个基本超节点。例如，在图 8.23 中，超节点 (I(2) = {2, 3, 4}) 是基本超节点，而 (I(6) = {6, 7}) 和 (I(8) = {8, 9}) 不是。

在基本超节点划分中，一旦超节点的第一列可以计算，该超节点的所有列都能计算，无需等待超节点外列的计算结果。为了确保所有超节点都是基本超节点，可以将超节点拆分为更小的节点，仅包含一列的超节点也是基本超节点。

1.2 任务执行

并行超节点算法（VI）基于超节点任务 (T_{sup}(J))，其中 (0 \leq J < N)（(N) 为超节点数量）。任务 (T_{sup}(J)) 包括从左到右对每个 (j \in J) 执行 (smod(j, J)) 和 (cdiv(j))，以及对所有 (k \in Struct(L^*(last(J)))) 执行 (smod(k, J))。

准备好执行的任务 (T_{sup}(J)) 存放在中央任务池中，空闲处理器可访问该池。任务池初始化为那些准备完成的超节点，即其第一列在消元树中为叶节点的超节点。如果任务 (T_{sup}(J)) 执行 (cmod(k, J)) 操作完成了另一个超节点 (K > J) 的修改，则将相应的任务 (T_{sup}(K)) 插入任务池。

1.3 任务分配

超节点任务的分配通过为超节点的每一列 (j) 维护一个计数器 (c_j) 来实现。每个计数器初始化为 0，每次对列 (j) 执行修改操作时计数器加 1。忽略超节点内列的修改，当列 (j \in J) 的计数器达到 (|Struct(L_j^*)|) 时，超节点任务 (T_{sup}(J)) 准备好执行。计数器的实现和列的操作需要进行保护，例如使用锁机制。对于 (smod(k, J)) 操作对列 (k \notin J) 的操作，需要锁定列 (k) 以避免不同处理器的并发操作。

以下是并行超节点算法的代码实现：

parallel supernode cholesky =
c = 0;
initialize task pool(TP);
while ((J = get unique index()) < N) {
    while (!filled pool(TP,J)) wait();
    get supernode(J);
    cdiv( first(J));
    for (j = first(J)+ 1; j ≤ last(J); j++) {
        smod( j,J);
        cdiv( j);
    }
    for (k ∈ Struct(L*(last(J)))) {
        lock(k); smod(k,J); unlock(k);
        add counter(ck,1);
        if ((k == first(K)) && (ck + 1 == |Struct(Lk*)|))
            add supernode(K);
    }
}

1.4 并行超节点算法流程图

graph TD;
    A[初始化任务池TP] --> B[获取唯一索引J];
    B --> C{J < N};
    C -- 是 --> D{任务池TP对J已填充};
    D -- 否 --> D;
    D -- 是 --> E[获取超节点J];
    E --> F[cdiv( first(J))];
    F --> G{j ≤ last(J)};
    G -- 是 --> H[smod( j,J)];
    H --> I[cdiv( j)];
    I --> J[j = j + 1];
    J --> G;
    G -- 否 --> K{k ∈ Struct(L*(last(J)))};
    K -- 是 --> L[lock(k)];
    L --> M[smod(k,J)];
    M --> N[unlock(k)];
    N --> O[add counter(ck,1)];
    O --> P{k == first(K) && ck + 1 == |Struct(Lk*)|};
    P -- 是 --> Q[add supernode(K)];
    Q --> K;
    P -- 否 --> K;
    K -- 否 --> B;
    C -- 否 --> R[结束];

2. 相关练习

2.1 并行 MPI 实现秩 - 1 更新

对于一个 (n×m) 矩阵 (A) 和长度为 (n) 的向量 (a) 和 (b)，需要编写一个并行 MPI 程序来计算秩 - 1 更新 (A = A - a \cdot b^T)。顺序计算的代码如下：

for (i=0; i<n; i++)
    for (j=0; j<n; j++)
        A[i][j] = A[i][j]-a[i] * b[j];

并行 MPI 实现假设矩阵 (A) 以列循环方式分布在 (p) 个处理器之间，向量 (a) 和 (b) 仅在秩为 0 的进程中可用，在计算前需要进行适当的分布。更新操作完成后，矩阵 (A) 仍应以列循环方式分布。

2.2 其他练习列表

练习编号	练习内容
8.2	使用 OpenMP 实现秩 - 1 更新，使用并行 for 循环表达并行执行。
8.3	将图 8.2 中使用行循环数据分布进行高斯消元的程序片段扩展为完整的 MPI 程序，实现所有辅助函数，并测量不同矩阵大小和处理器数量下的执行时间。
8.4	类似练习 8.3，将图 8.6 中使用总循环数据分布的程序片段转换为完整的 MPI 程序，比较不同矩阵大小和处理器数量下的执行时间，分析显著差异出现的场景并解释原因。
8.5	使用 OpenMP 为共享地址空间开发高斯消元的并行实现，以图 8.2 的 MPI 实现为参考，解释并行性的表达和共享数据访问时的同步需求，并测量不同矩阵大小和处理器数量下的执行时间。
8.6	使用 Java 线程开发高斯消元的并行实现，定义一个类似于图 6.23 中矩阵乘法的 Java 类 (Gaussian)，解释程序中的同步需求，并测量不同矩阵大小和处理器数量下的执行时间。
8.7	开发一个使用列循环数据分布的并行 MPI 程序进行高斯消元，解释列循环分布所需的通信，并计算不同矩阵大小和处理器数量下的加速比。
8.8	对于 (n = 8) 的三对角方程组系统，使用递归加倍技术求解。
8.9	开发求解三对角方程组系统的循环约简算法的顺序实现，并测量从 (n = 100) 到 (n = 10^7) 不同矩阵大小下的顺序执行时间。
8.10	将练习 8.9 中的顺序实现转换为使用 OpenMP 的共享地址空间并行实现，使用适当的并行 for 循环表达并行执行，测量相同矩阵大小下不同处理器数量的并行执行时间，计算加速比并以图表展示。
8.11	基于第 8.2.2 节的描述，开发分布式地址空间下循环约简算法的并行 MPI 实现，测量不同处理器数量下的并行执行时间并计算加速比。
8.12	根据图 8.11 为 (n = 12) 个方程的循环约简算法指定数据依赖图，对于 (p = 3) 个处理器，根据图 8.12 说明三个阶段，并指出导致通信的依赖关系。
8.13	实现基于指针存储方案的矩阵 (A) 的并行 Jacobi 迭代，在实现中使用全局索引。
8.14	考虑图 8.13 中的并行 Jacobi 迭代实现，使用 OpenMP 操作提供相应的共享内存程序。
8.15	通过修改图 8.14 中的并行程序，实现密集线性方程组系统的并行 SOR 方法。
8.16	为离散化的泊松方程提供 Gauss - Seidel 方法的共享内存实现。
8.17	使用基本算法为密集矩阵 (A) 开发 Cholesky 分解 (A = LL^T) 的共享内存实现。
8.18	开发密集 Cholesky 分解 (A = LL^T) 的消息传递实现。
8.19	对于给定非零元素的矩阵，指定所有超节点，对于至少包含三个元素的超节点，指定右视超节点 Cholesky 分解算法中执行的 (cmod) 和 (cdiv) 操作序列，确定矩阵的消元树，并解释消元树在并行执行中的作用。
8.20	推导使用线性数组作为互连网络的分布式内存机器上 CG 方法消息传递程序的并行执行时间。
8.21	考虑 CG 方法的并行实现，其中计算步骤 (3) 与计算步骤 (4) 并行执行，给定矩阵 (A) 的行块分布和向量的块分布，推导此实现变体的数据分布并给出相应的并行执行时间。
8.22	使用 MPI 实现图 8.20 中块分布的 CG 算法。

3. 部分练习的详细分析

3.1 并行 MPI 实现秩 - 1 更新步骤

并行 MPI 实现秩 - 1 更新 (A = A - a \cdot b^T) 的具体步骤如下：
1. 数据分布 ：矩阵 (A) 以列循环方式分布在 (p) 个处理器之间，向量 (a) 和 (b) 仅在秩为 0 的进程中可用。秩为 0 的进程需要将向量 (a) 和 (b) 广播给其他进程。
2. 并行计算 ：每个进程根据自己所拥有的矩阵 (A) 的列，按照顺序计算的方式进行秩 - 1 更新。
3. 结果汇总 ：更新操作完成后，矩阵 (A) 仍应以列循环方式分布。

以下是可能的代码框架：

// MPI 初始化
MPI_Init(&argc, &argv);
MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank);
MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &size);

// 定义矩阵 A、向量 a 和 b
double A[n][m];
double a[n];
double b[n];

// 仅在秩为 0 的进程中初始化向量 a 和 b
if (rank == 0) {
    // 初始化向量 a 和 b
}

// 广播向量 a 和 b
MPI_Bcast(a, n, MPI_DOUBLE, 0, MPI_COMM_WORLD);
MPI_Bcast(b, n, MPI_DOUBLE, 0, MPI_COMM_WORLD);

// 每个进程计算自己所拥有的矩阵 A 的列
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = rank; j < m; j += size) {
        A[i][j] = A[i][j] - a[i] * b[j];
    }
}

// MPI 结束
MPI_Finalize();

3.2 高斯消元并行实现分析

3.2.1 行循环数据分布

将图 8.2 中使用行循环数据分布进行高斯消元的程序片段扩展为完整的 MPI 程序，需要实现所有辅助函数。具体步骤如下：
1. 数据分布 ：矩阵按行循环分布到各个处理器。
2. 消元过程 ：每个处理器负责自己所拥有的行的消元操作，同时需要与其他处理器进行通信以获取必要的数据。
3. 同步操作 ：在消元过程中，需要进行同步操作以确保每个处理器都完成了当前步骤的计算。

3.2.2 列循环数据分布

开发一个使用列循环数据分布的并行 MPI 程序进行高斯消元，与行循环数据分布不同，列循环分布需要不同的通信模式。具体步骤如下：
1. 数据分布 ：矩阵按列循环分布到各个处理器。
2. 消元过程 ：每个处理器负责自己所拥有的列的消元操作，同时需要与其他处理器进行通信以获取必要的数据。
3. 通信分析 ：列循环分布需要更多的列间通信，以确保每个处理器都能获取到所需的列数据。

3.3 循环约简算法实现

3.3.1 顺序实现

开发求解三对角方程组系统的循环约简算法的顺序实现，具体步骤如下：
1. 初始化 ：输入三对角方程组的系数矩阵和右侧向量。
2. 循环约简 ：通过多次循环约简操作，将三对角方程组转化为更简单的形式。
3. 回代求解 ：根据约简后的方程组，通过回代求解出未知数的值。

以下是可能的代码框架：

// 初始化三对角方程组的系数矩阵和右侧向量
double a[n];  // 下对角线元素
double b[n];  // 主对角线元素
double c[n];  // 上对角线元素
double d[n];  // 右侧向量

// 循环约简过程
for (int k = 0; k < log2(n); k++) {
    for (int i = 2^k; i < n - 2^k; i += 2^(k + 1)) {
        double factor = a[i] / b[i - 2^k];
        b[i] = b[i] - factor * c[i - 2^k];
        c[i] = c[i];
        d[i] = d[i] - factor * d[i - 2^k];

        factor = c[i] / b[i + 2^k];
        b[i] = b[i] - factor * a[i + 2^k];
        a[i] = a[i];
        d[i] = d[i] - factor * d[i + 2^k];
    }
}

// 回代求解
double x[n];
// 回代过程代码

3.3.2 并行实现

将顺序实现转换为使用 OpenMP 的共享地址空间并行实现，使用适当的并行 for 循环表达并行执行。具体步骤如下：
1. 并行化循环 ：在循环约简过程中，使用 OpenMP 的并行 for 循环将循环任务分配给多个线程。
2. 同步操作 ：在某些关键步骤，需要进行同步操作以确保线程间的数据一致性。

以下是可能的代码框架：

#include <omp.h>

// 初始化三对角方程组的系数矩阵和右侧向量
double a[n];  // 下对角线元素
double b[n];  // 主对角线元素
double c[n];  // 上对角线元素
double d[n];  // 右侧向量

// 循环约简过程
#pragma omp parallel for
for (int k = 0; k < log2(n); k++) {
    for (int i = 2^k; i < n - 2^k; i += 2^(k + 1)) {
        double factor = a[i] / b[i - 2^k];
        b[i] = b[i] - factor * c[i - 2^k];
        c[i] = c[i];
        d[i] = d[i] - factor * d[i - 2^k];

        factor = c[i] / b[i + 2^k];
        b[i] = b[i] - factor * a[i + 2^k];
        a[i] = a[i];
        d[i] = d[i] - factor * d[i + 2^k];
    }
}

// 回代求解
double x[n];
// 回代过程代码

4. 总结

通过对并行超节点算法和相关练习的分析，我们可以看到在解决线性方程组系统时，并行算法能够显著提高计算效率。不同的数据分布方式（如行循环、列循环）和并行编程模型（如 MPI、OpenMP、Java 线程）适用于不同的场景。在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的算法和编程模型，并进行性能优化。

以下是一个简单的对比表格，展示不同并行编程模型的特点：
| 并行编程模型 | 适用场景 | 优点 | 缺点 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| MPI | 分布式内存系统 | 可扩展性强，适用于大规模并行计算 | 通信开销大 |
| OpenMP | 共享内存系统 | 编程简单，易于实现并行化 | 可扩展性有限 |
| Java 线程 | 多线程编程 | 跨平台，面向对象编程 | 线程管理复杂 |

graph LR;
    A[线性方程组系统] --> B[并行超节点算法];
    A --> C[高斯消元];
    A --> D[循环约简算法];
    B --> E[基本超节点划分];
    B --> F[任务执行与分配];
    C --> G[行循环数据分布];
    C --> H[列循环数据分布];
    D --> I[顺序实现];
    D --> J[并行实现];

在未来的研究和实践中，可以进一步探索更高效的并行算法和优化策略，以应对更大规模和更复杂的线性方程组系统。同时，结合不同的并行编程模型和硬件平台，提高计算效率和性能。