60、线性方程组算法：稀疏矩阵Cholesky分解与并行实现

线性方程组算法：稀疏矩阵Cholesky分解与并行实现

1. 稀疏下三角矩阵的压缩存储方案

在处理稀疏矩阵时，高效的存储方案至关重要。对于稀疏下三角矩阵L，我们可以使用额外的数组StartRow和Supernode来实现更紧凑的存储。

1.1 StartRow数组的作用

StartRow[j]存储的是列j中第一个非零元素所在行的索引。也就是说，Row[StartRow[j]] = j，因为ljj是第一个非零元素。对于每一列，行索引仍然存储在Row的一个连续块中。与简单方案不同的是，同一超级节点中不同行的块不是不相交的，而是根据这些列的相似稀疏结构重叠。

1.2 超级节点的存储优化

当j是超级节点I(j) = {j, j + 1, …, j + k - 1}的第一列时，对于1 ≤ l < k，列j + l在大于或等于j + l的行中与行j具有相同的非零模式。因此，Row[StartRow[j] + l]包含列j + l的第一个元素的行索引，即Row[StartRow[j] + l] = j + l。列j + l的行索引存储在Row[StartRow[j] + l], …, Row[StartRow[j] + StartColumn[j + 1] - StartColumn[j - 1]]中。这导致StartRow[j + l] = StartRow[j] + l，因此只需存储超级节点第一列的行索引即可获得完整信息。

1.3 Struct(L∗j)的快速访问

通过以下公式可以快速访问Struct(L∗j)：
Struct(L∗j) = {Row[StartRow[j] + i]