21、非线性代数方程组的求解方法与实践

非线性代数方程组的求解方法与实践

1. 二分法误差分析

在二分法中，如果将包含解的当前区间长度视为误差 $e_n$，那么 $e_{n + 1} = \frac{1}{2}e_n$，即收敛阶 $q = 1$ 且 $C = \frac{1}{2}$。然而，若 $e_n$ 是真实误差 $|x - x_n|$，从示意图中可以容易看出，当接近精确解时，该误差会在当前区间长度和一个可能非常小的值之间振荡。相应的收敛速率 $q_n$ 波动很大，没有太大的研究价值。

2. 多非线性代数方程组的求解

之前我们主要考虑单个非线性代数方程，但在许多应用中，尤其是非线性常微分方程和偏微分方程，会出现非线性代数方程组。在之前的算法中，只有牛顿法适合扩展到非线性方程组的求解。

2.1 抽象符号表示

假设有 $n$ 个非线性方程，可写成如下抽象形式：
[
\begin{cases}
F_0(x_0, x_1, \cdots, x_n) = 0 \
F_1(x_0, x_1, \cdots, x_n) = 0 \
\cdots \
F_n(x_0, x_1, \cdots, x_n) = 0
\end{cases}
]
引入向量符号 $F = (F_0, \cdots, F_n)$，$x = (x_0, \cdots, x_n)$，则方程组可写为 $F(x) = 0$。

例如，对于方程组
[
\begin{cases}
x^2 = y - x\cos(\pi x) \
yx + e^y = x^{-1}
\