一.函数的基本定义
1.函数
设
f
是从集合
A
到
B
的关系
,
如果对每个
设f是从集合A 到B的关系,如果对每个
设f是从集合A到B的关系,如果对每个x∈A,都存在唯一的y∈B,使得
<
x
,
y
>
∈
f
,
<x,y>∈f,
<x,y>∈f,
则称关系
f
为从
A
到
B
的函数
(
f
u
n
c
t
i
o
n
)
或映射
(
m
a
p
p
i
n
g
)
,
记为
f
:
A
→
B
.
则称关系f为从A到B的函数( function)或映射( mapping) ,记为f:A→B.
则称关系f为从A到B的函数(function)或映射(mapping),记为f:A→B.
A
为函数
f
A为函数f
A为函数f的定义域，记为
d
o
m
f
=
A
domf=A
domf=A;
f
(
A
)
f(A)
f(A)为函数f的值域，记为
r
a
n
f
.
ranf.
ranf.
当
<
x
,
y
>
∈
f
时
,
通常记为
y
=
f
(
x
)
,
当<x,y>∈f时,通常记为y=f(x),
当<x,y>∈f时,通常记为y=f(x), 这时称
x
x
x为函数
f
f
f的自变量(或原像),
y
y
y为
x
x
x在
f
f
f下的函数值（或像）
例题：判断下列各关系是否为函数
2.函数的数量
二.函数的类型
1.函数基本类型
(1)对 ∀ x 1 , x 2 ∈ A , 如果 x 1 ≠ x 2 , 有 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) , \forall x_1,x_2∈A,如果x_1≠x_2,有f(x_1)≠f(x_2) , ∀x1,x2∈A,如果x1=x2,有f(x1)=f(x2),则称 f f f为从A到B的单射或一对一映射.
(2) 如果
r
a
n
f
=
B
ranf=B
ranf=B,则称
f
f
f为从A到B的满射或从A到B上的映射.
(也就是说，对
∀
y
∈
B
,
\forall y∈B,
∀y∈B,一定有
f
(
x
)
=
y
f(x)=y
f(x)=y。通俗来讲就是，对于集合B中的每一个元素，一定能找到它的原像)
(3)如果 f f f既是单射,又是满射，则称 f f f为从A到B的双射或一一对应的映射
(4)如果A=B,则称 f f f为A上的函数;当A上的函数f是双射时,称 f f f为变换
2.函数类型的判断
A.
B.
这里有一个误区：有人会认为
f
3
f_3
f3={
<
x
,
e
x
>
∣
x
∈
R
<x,e^x>|x∈R
<x,ex>∣x∈R}是满射，因为对于
e
x
e^x
ex的每一个取值，都能找到一个
x
x
x与之对应。
但实际上：
所谓满射，是要对于集合B的每一个元素，都能找到一个
x
x
x与之对应，而这里的
B
=
R
B=R
B=R,对于B中小于0的元素，没有任何
x
x
x能与之对应，所以
f
3
f_3
f3不是满射
3.函数类型证明
在具体的证明过程中，要用数学描述语言证明
三.函数的运算
1.函数的复合
a.复合运算
复合运算与高中数学所学的复合运算法则大致相同.
唯一的区别是:
在高中数学里
g
g
go
f
f
f表示
g
(
f
(
x
)
)
g(f(x))
g(f(x))，而在离散数学里
g
g
go
f
f
f表示:
f
(
g
(
x
)
)
f(g(x))
f(g(x))
知道这一点即可
例题：
A.
B.
C.
这边解释一下：O（odd）表示奇数集，E表示偶数集
b.保守性
2.函数的逆
对于
f
f
fo
f
−
1
=
I
A
f^{-1}=I_A
f−1=IA,
f
−
1
f^{-1}
f−1o
f
=
I
B
f=I_B
f=IB,可以通过画图的方式来理解:
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