离散数学——关系的性质（自反与反自反，对称与反对称，传递）

学习目标：

掌握五大关系的性质（分为三个模块）

一：自反与反自反

自反性：任意的x属于A，都有<x，x>属于集合R
反自反性：任意的属于A，都有<x，x>不属于集合R

二：对称与反对称

对称性:对于任意的x和y属于A，如果有<x ，y>和<y ，x>都属于关系R，那么关系R具有对称性
反对称性:对于任意的x和y属于A，如果<x ，y>和<y ，x>都属于关系R，那么一定有x=y

三:传递

关系具有传递性，则对于任意的 a，b，c 属于 A，若 aRb 且 bRc，必有 aRc

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学习内容：

1. 自反与反自反的判断

自反与反自反较易判断，但要注意有一个易错点：

**自反和反自反都要满足对任意的x属于A成立**

也就是说：假如A的元素有$a,b,c$，那么$R$中要同时有$<a,a>,<b,b>,<c,c>$才具有自反性，$<a,a>,<b,b>,<c,c>$全都不在$R$中才具备反自反性。若只有其中的两个或者一个，则既无自反性，也无反自反性。

2. 对称与反对称的区别（难点！！！）

对称与反对称关系并不是严格的非此即彼的关系。

对称：若存在<a,b>在R中，则<b,a>一定要在R中（这边默认a，b不同）。反对称：若存在<a,b>，则<b,a>一定不能在R中（a，b是A中的任意两个元素）

注意： 对称和反对称并不要求<a,b>,<a,c>,<b,c>等所有A中任意两个不同元素都在R中，只要存在某一个或多个即可，【甚至可以任意<x,y>,x≠y都不存在，此时关系同时具有对称性和反对称性（后面关系性质的综合判断中会给例子）】（自反和反自反则是要求全部都在或者全部都不在）
例子：
R 1 = { < a , b > , < b , a > } R1=\{ <a,b>,<b,a>\} R1={<a,b>,<b,a>}具有对称性
R 2 = { < a , b > , < a , c > } R2=\{<a,b>,<a,c>\} R2={<a,b>,<a,c>}具有反对称性
R 3 = { < a , b > , < b , a > , < a , c > } R3=\{<a,b>,<b,a>,<a,c>\} R3={<a,b>,<b,a>,<a,c>}既不具有对称性，也不具有反对称性

3. 传递

传递较好理解，说白了就是若$a\to b,b\to c,则a\to c。$这边只举几个例子：
R 1 = { < a , b > , < a , c > , < b , c > } R1=\{<a,b>,<a,c>,<b,c>\} R1={<a,b>,<a,c>,<b,c>}
R 2 = { < b , a > , < a , b > , < a , a > } R2=\{<b,a>,<a,b>,<a,a>\} R2={<b,a>,<a,b>,<a,a>}
上述两个例子都具有传递性。
需要特别注意一下：，如果<a,b>,<b,c>同时存在，那<a,c>一定要存在，否则是非传递的
如： R = { < a , b > , < b , c > , < e , f > , < f , h > , < e , h > } R=\{<a,b>,<b,c>,<e,f>,<f,h>,<e,h>\} R={<a,b>,<b,c>,<e,f>,<f,h>,<e,h>} 。尽管$<e,f>,<f,h>,<e,h>$ 满足传递关系，但由于$<a,b>,<b,c>$存在，而$<a,c>$不存在，所以$R$仍然不具有传递性。

4.特别地（空集）

特别地，当$R=\varnothing$的时候，非空集合中的空关系有反自反性，对称性，反对称性和传递性，但不是自反的。

5.关系性质的综合判断

接下来给出一些例子，它们同时具有多种性质，用于加深对关系的性质的理解。

1. 非空集合 4 上的全关系 $E_A$（$R=A\times A$）：自反性，对称性，传递性。

2. 非空集合 4 上的恒等关系$I_A$（$R=<x,x>$）：自反性，对称性，反对称性，传递性。
   传递性解释：若$a=b，b=c，则a=c，则<a,b>,<b,c>,<a,c>都\in R，满足传递性定义$

   对称性和反对称性解释：由于对称性是要求当$<a,b>a\ne b$存在时，$<b,a>$一定存在。反对称性是要求当$<a,b>a\ne b$存在时，$<b,a>$一定不存在，而恒等关系里根本就不存在$a\ne b$的情况，所以同时具有自反和反自反性

3.实数集 R 上的等于关系$=$：自反性，对称性，反对称性，传递性 。

4.幂集上的真包含关系$\subset$：反自反性，反对称性，传递性
反自反性解释： $若A\subset B，由真包含可知，A恒<B,也就是说A恒不等于B$

反对称性解释： $若A\subset B，则一定不存在B\subset A$

传递性解释： $若A\subset B，B\subset C，则A\subset C$