数字电子技术——数制，二进制代码，格雷码，数制间的转换

一：数制

（1）十 – 二进制的转换

十 – 二进制的转换的比较简单，容易理解。
我们先理解二进制数在十进制下的意义：

对于一个十进制数，例如4587.29可表示为：

同理，我们可以由此推出二进制的表示方法：

对于一个二进制数，例如1010110可表示为：

也就是说，我们用系数为0或1的2ⁿ的和来表示一个十进制数，指数n对应二进制的第n+1位数，2ⁿ的系数就是它在该位的二进制数（0或1）

对于二–十进制的转化，我们分整数部分和小数部分两部分进行讨论。下面是它们互相转化的方法：

（Ⅰ）十进制转二进制

整数部分（常规方法）

整数部分（简便方法）

实际上，常规方法过于繁琐，在实际做题的时候，我们采用更快捷的 “ 显然法 ”：
给定一个十进制，找一个小于等于该十进制的最大的2ⁿ的数，然后用该十进制数减去这个最大的2ⁿ的数，得到一个新数，再继续找小于等于这个新数的最大的2ⁿ的数

例如：给定65，小于65的最大的2ⁿ的数为2⁶，65-2⁶=1，小于等于1的最大的2ⁿ的数为2⁰，所以65的二进制就是1000001

小数部分

（Ⅱ）二进制转十进制

二转十相较于十转二要更容易。只需要按位数展开即可。但要注意，小数部分是从2⁻¹开始展开，不是2⁰，并且是从小数点开始指数往右逐位减小（绝对值逐位增大）

（2）二 – 十六、二 – 八进制的转化

由二进制的表示方法不难推出，八进制和十六进制就是8ⁿ和16ⁿ。

（3）十–二–八–十六进制关系对照表

二：二进制代码

（1）BCD8421码

例如：（1001）BCD=18+04+02+11=9

（2）余三码

只需要记住：余三码=8421码+3
例如：（0001）BCD =（0001+3）余三码 =（0100）余三码

三：格雷码

（1）格雷码的构成方法

（2）格雷码表

（3）格雷码的特点

格雷码的特点是：

从某一级跳变到下（上）一级时，只有一位会发生改变（从0到1（或从1到0））。

如：0001的下一级是0011，（只有第二位从0到1），0011下一级是0010（只有第一位从1到0）。

每次只变换一位的优点是：

• 更高的转换效率
• 避免数字震荡
• 在电子工程和传感器编码中广泛应用
• 在数字信号传输中具备更好的容错性

后面章节中的卡诺图也是按照格雷码进行编码的。

（4）记忆方法：

在10和10之间划一根横线，（100和100间也划一根）发现横线上下是镜像对称的
如图：
注意到：相同颜色的小（中）括号内的数字相同
也就是说，只需要记住二位的格雷码是00->01->11->10，就可以由此推出三位乃至四位的格雷码表

四：（综合运用）二进制、十进制、8421BCD码的转换

前面已经讨论了二–十的转换，这里就不再过多赘述。

（1）十进制 – 8421BCD码的转换

十进制转为BCD码，就是将十进制的每一位数单独拿出来，用8421码表示
即：对于（53）D，3=（0011）BCD，5=（0101）BCD，
则（53）D=（0101 0011）BCD
例子：

（2）二进制 – 8421BCD码的转换

既然已知十进制如何转化成BCD码，那么二进制转8421就是先将二进制变为对应的十进制，再将十进制转为对应的BCD码即可。