高等数学——一阶微分方程（变量已分离/可分离方程、一阶齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程）苏德矿学习笔记

• 常微分方程基本概念
• 变量已分离/可分离微分方程的解法
• 一阶齐次微分方程的解法
• 一阶齐次线性微分方程的解法
• 一阶非齐次线性微分方程的解法（常数变易法）
• 伯努利方程的解法

1. 常微分方程基本概念

（Ⅰ）微分方程及微分方程的阶

凡含有未知函数的导数或微分(一定要有)或未知函数及自变量(可有可无)的方程，称为微分方程，有时也简称为方程.

未知函数是一元函数的，叫做常微分方程，常微分方程一般形式为：

F($x$，$y$，$y^{\prime }$，$y^{\prime \prime }$，…，$y^{(n)}$) = 0

其中x是自变量，y是x的未知函数，即y=y(x)

$x$，$y$，$y^{\prime }$，$y^{\prime \prime }$，…，$y^{(n)}$依次是函数y=y(x)关于x的一阶,…,n阶导数，在方程中出现的各阶导数中最高的阶数，称为微分方程的阶

（Ⅱ）微分方程的解及通解

如果将某一函数y=y(x)代人微分方程F($x$，$y$，$y^{\prime }$，$y^{\prime \prime }$，…，$y^{(n)}$) = 0，能使方程成为恒等式，则函
数y=y(x)称为微分方程的解.

如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同那么这种解称为微分方程的通解，即微分方程的全体解。
所谓的独立常数，就是该常数不能和方程中的其他常数合并
如：一个三阶微分方程的解$$y=C_{1}x+C_2+2C_3=C_{1}x+C_4(其中C_2+2C_3=C_4)$$
由于该解只含有两个独立的常数，所以此解不是通解

（Ⅲ）微分方程的特解及初值条件

如果指定通解中的一组任意常数等于某一组固定的常数，那么得到的微分方程的解，叫做特解

初值条件：

2. 变量已分离/可分离微分方程

已解出$\frac{dx}{dy}$的一阶微分方程的一般形式是$$\frac{dx}{dy}=F(x,y),$$
若其右端能分解成$F(x,y)=f(x)g(y)$，即把方程化为$$\frac{dx}{dy}=f(x)g(y)$$
则称为可分离变量的方程$\frac{dx}{dy}=f(x)g(y)$。其中/(x)，g(y)都是连续函数.这种方程的特点是，右边是一个仅含x的函数f(x)与一个仅含y的函数g(y)的乘积.利用这一特点，可通过积分来求解，方法如下:
设g(y)≠0，用g(y)除方程的两端，dx乘方程的两端得$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$
上述方法，是将未知函数与自变量分离置于等号的两边（称为分离变量法），积分后得通解$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C(g(y)\ne 0)$$

3. 一阶齐次微分方程

形如$$\frac{dx}{dy}=f(\frac{x}{y})$$的方程称为一阶齐次微分方程
由于解的步骤比较繁琐，所以接下来将推导其通解公式，只需要记得公式，就不用每次都一步步重新推导了


即一阶齐次微分方程的通解为：$$x=C{e}^{\int \frac{1}{f(u)-u}du}或\frac{y}{x}=ki$$
其中$$u=\frac{y}{x},ki为f(u)-u=0的常数解$$

例题：

4. 一阶线性微分方程

形如$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=Q(x)$$的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，Q(x)是某一区间X的连续函数.Q(x)称为自由项

（1）一阶齐次线性微分方程

特别地，当$Q(x)\equiv 0$时，方程变为$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$$这个方程称为一阶线性齐次方程。
线性齐次方程是可分离变量的方程，可写成$$\frac{dy}{dx}=-p(x)y或\frac{dy}{y}=-p(x)dx$$
两边积分，得$$l{n}^y=-\int p(x)dx+l{n}^C,$$
即其通解为$y=C{e}^{-\int p(x)dx},$这里常数C也可以等于0，因为$y\equiv 0$也满足方程

（2）一阶非齐次线性微分方程（常数变易法）

当$Q(x)\ne 0$时，方程$\frac{dy}{dx}+p(x)y=Q(x)$为一阶非齐次线性微分方程，一阶非齐次线性微分方程的解同样有公式，接下来我们推导其公式：

也就是说：一阶非齐次线性微分方程的通解为：$$y=e^{-\int p(x)dx}[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$$
列题：

5. 伯努利方程

总结：伯努利方程可以通过换元法变成一阶非齐次线性微分方程，其中$$p_1(x)=(1-\alpha )p(x),Q_1(x)=(1-\alpha )Q(x)$$
则伯努利方程变为$$\frac{dz}{dx}+p_1(x)z=Q_1(x)，$$可知，这是一个自变量为$x$，因变量为$z$的一阶非齐次线性微分方程，其中$z=y^{1-\alpha }$