数字电子技术——二进制的算术运算

二进制的算术运算

（1）无符号的二进制算术运算

（Ⅰ）无符号二进制运算的进位、借位规则

无符号的二进制算术运算比较简单，唯一与十进制运算不同的是：

十进制是满10则进一位，如：9+1=10（本位为0，进位为1）。二进制则是满2进一位，如：1+1=10（本位为0，进位为1）。

同样，十进制向高位借一位，相当于本位加10，高位减1。如：11-9，本位1-9不够减需要借位，变成1+10-9=2，高位则是1-1=0，所以11-9=2。而二进制向高位借一位则相当于本位加2，高位减1。如10-01，本位0-1不够减需要借位，变成0+2-1=1，高位则是1-1=0，所以10-01=01。

（Ⅱ）例子

（2）有符号的二进制算术运算

（Ⅰ）原码、反码、补码

快速求出反码和补码的方式

（Ⅱ）带符号二进制数的减法运算

当两个带符号二进制数做减法的时候，会遇到非常麻烦的事情：
要先判断两个数绝对值的大小，再用绝对值大的数减去绝对值小的数，最后还要根据大减小还是小减大来判断算出的值的符号是正还是负，过于麻烦。所以在计算带符号二进制的减法的时候，我们会通过更为简单的补码加法来实现带符号二进制的减法

例子1（结果为正数的情况）

0011为正数，正数的原码等于它的补码，则最终结果就为0011（十进制为3）。

例子2（结果为负数的情况）

1101为负数，要求它的原码，先把补码-1变成反码，再逐位求反得到原码。

关于自动丢弃的说明：
减法运算算出的结果肯定是小于被减数的（这边默认减的是正数），所以其结果的位数一定不会大于被减数的位数，如例题中的10011为五位，而被减数0101只有四位，所以10011最高位的那个1要自动丢弃

（Ⅲ）带符号二进制数的加法运算的溢出

符号相反的数相加不会溢出，但是两个符号相同的数相加可能会产生溢出（正数加正数、负数加负数）

更快的判断溢出的方法：
1.先看两个加数的符号是否相同
2.再看计算出来的结果的符号是否和两个加数的符号相同
如：（a）中的结果0111是正数，两个加数0100，0011也是正数，计算结果和加数的符号相同，则没有溢出
（b）中1000为负数，加数1011和1101为负数，符号相同，没有溢出
（c）中1000为负数，而0010和0110为正数，计算结果和加数符号不同，则溢出了，要在最高位补一个0（加数为正数就补0，加数为负数就补1）
（d）中0111为正数，而1101和1010为负数，符号不同，则溢出了，要在最高位补一个1