[51nod 1594]Gcd and Phi

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莫比乌斯反演

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本文介绍了一道数论题的解法，题目要求求解所有(i,j)对，使得1≤i≤n且1≤j≤n时，phi(i)和phi(j)的最大公约数的欧拉函数值之和。采用枚举gcd结合莫比乌斯反演的方法，并通过代码实现了nlogn预处理。

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题目大意

求所有(i,j)满足1<=i<=n和1<=j<=n，phi(i)和phi(j)的gcd的欧拉函数值和。

数论题

挺简单的。
枚举gcd然后莫比乌斯反演一波。
接下来的式子中需要用到的均能够进行n log n预处理。
式子不太想写了，可以看看代码。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2000000+10;
ll f[maxn],g[maxn];
int mu[maxn],pri[maxn],phi[maxn],num[maxn],cnt[maxn];
bool bz[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,top,ca;
ll ans;
int main(){
    mu[1]=phi[1]=1;
    fo(i,2,maxn-10){
        if (!bz[i]){
            pri[++top]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        fo(j,1,top){
            if ((ll)i*pri[j]>maxn-10) break;
            bz[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0){
                mu[i*pri[j]]=0;
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
    scanf("%d",&ca);
    while (ca--){
        scanf("%d",&n);
        fo(i,1,n) cnt[i]=num[i]=f[i]=g[i]=0;
        fo(i,1,n) num[phi[i]]++;
        fo(i,1,n)
            fo(j,1,n/i)
                cnt[i]+=num[i*j];
        fo(i,1,n) g[i]=(ll)cnt[i]*cnt[i];
        fo(i,1,n)
            fo(j,1,n/i)
                f[i]+=g[i*j]*mu[j];
        ans=0;
        fo(i,1,n) ans+=(ll)phi[i]*f[i];
        printf("%lld\n",ans);
    }
}