[51Nod 1594] Gcd and Phi

Description

求$ANS=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}φ(gcd(φ(i),φ(j)))$
n<=2*10^6

Solution

一道极裸的反演题。

设$p(k)=\sum[φ(i)=k]$

$$f(d)=\sum\sum[gcd(φ(i),φ(j))=d]=\sum\sum[gcd(i,j)=d]p(i)p(j)$$
都是套路
$$g(d)=\sum\limits_{i=1}^{n\over d} f(id)$$
$$ANS=\sum\limits_{d=1}^{n}φ(d)f(d)=\sum\limits_{d=1}^{n}φ(d)\sum\limits_{i=1}^{n\over d}\mu(i)g(id)$$

$g$怎么求？
如果没有$p$，那么很明显$g(d)=\lfloor {n\over d}\rfloor^2$
但是有$p$怎么办？

不虚
再设$S(d)=\sum\limits_{i=1}^{n\over d}p(id)$，也就是单独$i$的选法

$$g(d)=S(d)^2$$ ，$i,j$乘起来

$$ANS=\sum\limits_{d=1}^{n}φ(d)\sum\limits_{i=1}^{n\over d}\mu(i)S(id)^2$$
因为$\sum\limits_{i=1}^{n}{n\over i}\approx nlog(n)$
所以直接暴力做就是$O(n log n)$的，注意卡常。

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long 
#define N 2000005
using namespace std;
int mu[N],pr[N],n,t,l,phi[N];
LL s[N],p[N];
bool bz[N];
void prp(int n)
{
    l=0;
    mu[1]=phi[1]=p[1]=1;
    fo(i,2,n)
    {   
        if(bz[i]==0) pr[++l]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
        p[phi[i]]++;
        for(int j=1;j<=l&&i*pr[j]<=n;j++)
        {
            bz[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0) 
            {
                mu[i*pr[j]]=0;
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                break;
            }
            phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
            mu[i*pr[j]]=-mu[i];
        }
        bz[i]=0;
    }
    fo(d,1,n)
    {
        s[d]=0;
        fo(i,1,n/d) s[d]+=p[i*d];
    }
}
int main()
{
    cin>>t;
    while(t-->0)
    {
        scanf("%d",&n);
        LL ans=0;
        prp(n);
        fo(d,1,n)
        {
            LL s1=0;
            p[d]=0;
            fo(i,1,n/d) s1+=mu[i]*s[i*d]*s[i*d];
            ans+=s1*phi[d];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}