[51nod 1847]奇怪的数学题

最新推荐文章于 2020-12-23 13:52:02 发布

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#素数筛

本文详细解析了51nod 1847题目的解题思路，通过杜教筛和第二类斯特林数来计算最小质因子的贡献，实现了质数和合数的贡献相加，解决了自然溢出问题。

【 51nod 1847 】奇怪的数学题

题目

点这里看题目。

分析

是挺奇怪的…
以下定义质数集合为 $P$ ， $p_i$ 为第 $i$ 个质数。
定义 $m p (x)$ 为 $x$ 的最小质因子，则可以得到：
$sgcd(a,b)=\frac{\gcd(a,b)}{mp(\gcd(a,b))}$
这个比较显然。然后可以娴熟地变换式子得到：
$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k&=\sum_{d=2}^n\left(\frac d{mp(d)}\right)^k \sum_{i=1}^{\lfloor\frac n d\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n d\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\&=\sum_{d=2}^n\left(\frac d{mp(d)}\right)^k \left(2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n d\rfloor}\varphi(i)-1\right)\end{aligned}$