51Nod1594 Gcd and Phi

题目看这里
一个简单的反演题目:

∑i=1n∑j=1nϕ(gcd(ϕ(i),ϕ(j))) ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ϕ ( g c d ( ϕ ( i ) , ϕ ( j ) ) )

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\phi\bigg(gcd(\phi(i),\phi(j))\bigg)$$
首先做一下变换
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\phi\big(gcd(\phi(i),\phi(j))\big)$
$=\sum_{d=1}^n\phi(d)* f(d)$
这里$f(d)=\sum_{i,j}[gcd(\phi(i),\phi(j))=d]$
表示有多少对i,j满足它们的$\phi$值的最大公约数为d
我们令$F(d)=\sum_{i,j}[d|gcd(\phi(i),\phi(j))]$,就有$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$
反演得到$f(n)=\sum_{d}F(n*d)*\mu(d)$
所以原式可以写成$\sum_{i*j<=n}\phi(i)*F(i*j)*\mu(j)$
预处理$\mu,\phi$和$F$的值就可以了

$\#pragma\ GCC\ optimize("O3")$
$\#pragma\ G++\ optimize("O3")$
$\#include<stdio.h>$
$\#include<string.h>$
$\#include<algorithm>$
$\#define\ N\ 2000010\ $
$\#define\ LL\ long\ long$
$using\ namespace\ std;$
$int\ n,T;\ long\ long\ S;$
$int\ w[N>>2],t,phi[N],mu[N],vis[N],c[N];$
$inline\ LL\ F(int\ x)\{\ return\ (LL)c[x]*c[x];\ \}$
$inline\ void\ cal()\{$
$\quad scanf("\%d",\&n);\ memset(c,S=0,sizeof\ c);$
$\quad for(int\ i=1;i<=n;++i)\ ++c[phi[i]];$
$\quad for(int\ i=1;i<=n;++i)$
$\quad \quad for(int\ j=i+i;j<=n;j+=i)\ c[i]+=c[j];$
$\quad for(int\ i=1;i<=n;++i)\ if(mu[i])$
$\quad \quad for(int\ j=1;i*j<=n;++j)$
$\quad \quad \quad S+=(LL)F(i*j)*mu[i]*phi[j];$
$\quad printf("\%lld",S);$
$\}$
$int\ main()\{$
$\quad phi[1]=mu[1]=1;$
$\quad for(int\ i=2;i<=2000000;++i)\{$
$\quad \quad if(!vis[i])\{\ mu[w[++t]=i]=-1;\ phi[i]=i-1;\ \}$
$\quad \quad for(int\ j=1,k;(k=i*w[j])<=2000000;++j)\{$
$\quad \quad \quad vis[k]=1;$
$\quad \quad \quad if(i\%w[j]==0)\{\ phi[k]=phi[i]*w[j];\ mu[k]=0;\ break;\ \}$
$\quad \quad \quad phi[k]=phi[i]*(w[j]-1);\ mu[k]=-mu[i];$
$\quad \quad \}\ $
$\quad \}$
$\quad for(scanf("\%d",\&T);T--;cal());$
$\}$