CF2022E2 CF2022E1 Billetes MX

题意
求有多少个 $r$ 行 $s$ 列的矩形满足：
1.其中每个元素 $\in [0,2^{30})$
2.对于任何 $1\le i_1\le i_2\le r,1\le j_1\le j_2\le s$ 满足 $a_{i_1,j_1}\oplus a_{i_1,j_2}\oplus a_{i_2,j_1}\oplus a_{i_2,j_2}=0$
有 $k$ 个初始条件$r_i,c_i,v_i$表示第 $r_i$ 行 $c_i$ 列的数为 $v_i$
有 $q$ 个操作$R_i,C_i,V_i$表示第 $R_i$ 行 $C_i$ 列的数变为 $V_i$
保证$(r_i,c_i)$与$(R_j,C_j)$互不相同。
输出对于初始状态和$q$个操作后的矩阵方案数。

思路
首先考虑二进制拆分。
每一行与第一行比较。发现如果要满足条件，则对应的每一列数要么都相等要么都不相等。
考虑限制转化为任意一行与第一行比较相同或者相反，然后考虑假若确定了第一行，其他行的取值方案。
不难发现假若其他行还没有确定的位置，则有两种填法，否则至多有一种填法。
我们找到所有满足其他填了数的行都有 1 种填法（也即是存在合法填法）的第一行填法。
观察其他行填的数的影响，不难发现，对于其他行中任意两个填的数相同或者不同的位置，第一行这两个位置上的数也要满足相同或者不同。
因为二进制拆分了，每位只有$0,1$两种取值。所以上述限制就可以直接使用扩展域并查集维护。
每一位的答案乘起来就是整体的答案。
由于并查集是可以支持动态加边的，所以边填数边求解是简单的。
总时间复杂度 $O(nlo{g}_2^{n}lo{g}_2^V)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
void read(int &n){
	n=0;short f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while('0'<=ch&&ch<='9'){n=(n<<1)+(n<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	n=n*f;
}//快读
void write(int n){
	if(n<0){printf("-");write(-n);return;}
	if(n<10){putchar(char(n+'0'));return;}
	write(n/10);
	putchar(char(n%10+'0'));
}//快输
#define mod (1000000007)
int T;
int n,m,k,q;
int r[100005],c[100005],val[100005];
int R[100005],C[100005],Val[100005];
int ans[100005],fa[200005],vis[200005]/*别忘记开两倍空间*/;
int fi[100005],col[100005],led,cnt,sum;
//fi表示第i行的其中一个数方便计算
//col表示第i行与第一行的相同与否
//led表示是否合法，cnt表示有几列没有确定，sum表示有几行没有确定
int find(int x){
	if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}//并查集
int fpow(int x,int y){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1) res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}//快速幂
void solve(int op){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		fa[2*i]=2*i;
		fa[2*i-1]=2*i-1;
		vis[2*i]=0;
		vis[2*i-1]=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fi[i]=0;
		col[i]=-1;
	}
	cnt=2*m;sum=n-1;led=1;//初始化
	//k个初始条件
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if(r[i]==1&&vis[find(2*c[i])]==0){
			cnt-=2;
			vis[find(2*c[i])]=vis[find(2*c[i]-1)]=1;
		}
		if(fi[r[i]]==0){
			fi[r[i]]=c[i];
			col[r[i]]=(val[i]>>op)&1;
			if(r[i]!=1) sum--;
		}
		else{
			int u=fi[r[i]],v=c[i];
			if(((val[i]>>op)&1)==col[r[i]]){
				if(find(u*2)!=find(v*2)){
					if(!vis[find(u*2)]||!vis[find(v*2)]) cnt--;
					vis[find(u*2)]|=vis[find(v*2)];
					fa[find(v*2)]=find(u*2);
				}
				if(find(u*2-1)!=find(v*2-1)){
					if(!vis[find(u*2-1)]||!vis[find(v*2-1)]) cnt--;
					vis[find(u*2-1)]|=vis[find(v*2-1)];
					fa[find(v*2-1)]=find(u*2-1);
				}
				if(find(u*2-1)==find(u*2)) led=0;
				if(find(v*2-1)==find(v*2)) led=0;//不合法
			}
			else{
				if(find(u*2)!=find(v*2-1)){
					if(!vis[find(u*2)]||!vis[find(v*2-1)]) cnt--;
					vis[find(u*2)]|=vis[find(v*2-1)];
					fa[find(v*2-1)]=find(u*2);
				}
				if(find(u*2-1)!=find(v*2)){
					if(!vis[find(u*2-1)]||!vis[find(v*2)]) cnt--;
					vis[find(u*2-1)]|=vis[find(v*2)];
					fa[find(v*2)]=find(u*2-1);
				}
				if(find(u*2-1)==find(u*2)) led=0;
				if(find(v*2-1)==find(v*2)) led=0;
			}
		}
	}
	ans[0]=ans[0]*fpow(2,cnt/2+sum)%mod*led%mod;//计算答案别忘记cnt要除二
	//q个操作
	for(int i=1;i<=q;i++){
		if(R[i]==1&&vis[find(2*C[i])]==0){
			cnt-=2;
			vis[find(2*C[i])]=vis[find(2*C[i]-1)]=1;
		}
		if(fi[R[i]]==0){
			fi[R[i]]=C[i];
			col[R[i]]=(Val[i]>>op)&1;
			if(R[i]!=1) sum--;
		}
		else{
			int u=fi[R[i]],v=C[i];
			if(((Val[i]>>op)&1)==col[R[i]]){
				if(find(u*2)!=find(v*2)){
					if(!vis[find(u*2)]||!vis[find(v*2)]) cnt--;
					vis[find(u*2)]|=vis[find(v*2)];
					fa[find(v*2)]=find(u*2);
				}
				if(find(u*2-1)!=find(v*2-1)){
					if(!vis[find(u*2-1)]||!vis[find(v*2-1)]) cnt--;
					vis[find(u*2-1)]|=vis[find(v*2-1)];
					fa[find(v*2-1)]=find(u*2-1);
				}
				if(find(u*2-1)==find(u*2)) led=0;
				if(find(v*2-1)==find(v*2)) led=0;
			}
			else{
				if(find(u*2)!=find(v*2-1)){
					if(!vis[find(u*2)]||!vis[find(v*2-1)]) cnt--;
					vis[find(u*2)]|=vis[find(v*2-1)];
					fa[find(v*2-1)]=find(u*2);
				}
				if(find(u*2-1)!=find(v*2)){
					if(!vis[find(u*2-1)]||!vis[find(v*2)]) cnt--;
					vis[find(u*2-1)]|=vis[find(v*2)];
					fa[find(v*2)]=find(u*2-1);
				}
				if(find(u*2-1)==find(u*2)) led=0;
				if(find(v*2-1)==find(v*2)) led=0;
			}
		}
		ans[i]=ans[i]*fpow(2,cnt/2+sum)%mod*led%mod;
	}
}
signed main(){
	read(T);
	while(T--){
		read(n);read(m);read(k);read(q);
		for(int i=1;i<=k;i++) read(r[i]),read(c[i]),read(val[i]);
		for(int i=1;i<=q;i++) read(R[i]),read(C[i]),read(Val[i]);
		for(int i=0;i<=q;i++) ans[i]=1;//答案初始化
		for(int i=0;i<30;i++) solve(i);//每一位计算
		for(int i=0;i<=q;i++) write(ans[i]),puts("");
	}
	return 0;
}