GYM 101550 E.Exponial（指数循环定理）

最新推荐文章于 2020-03-04 16:41:52 发布

v5zsq

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分类专栏：数论 GYM

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本文介绍了一种特殊的指数函数 exponial 的模运算计算方法，并提供了一种高效的算法实现，利用指数循环定理和欧拉函数进行递归求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

定义 $exponial(n)=n^{(n-1)^{(n-2)^{...^{2^1}}}}$ ，求 $exponial(n)\%m$

Input

给出两个整数 $n,m(1\le n,m\le 10^9)$

Output

输出 $exponial(n)\%m$

Sample Input

2 42

Sample Output

Solution

简记 $e(n)=exponial(n)$ ，由指数循环定理 $A^B\ mod\ C= A^{B\ mod\ \varphi(C)+\varphi(C)}\ mod\ C(B>\varphi(C))$ ，由于 $e(5)=5^{2^{18}}>10^9$ ，故只要 $n>4$ 就满足指数循环定理的条件，进而有 $e(n)\%m=n^{\varphi(m)}\cdot n^{e(n-1)\%\varphi(m)}\%m$ ，以此递推即可，由于欧拉函数以 $2$ 的对数级别收敛到 $0$ ，故最多递归 $log_2m$ 层模数就会变成 $1$ ，时间复杂度 $O(log_2nlog_2m)$ ， $n\le 4$ 时暴力算即可

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
int mod_pow(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%c;
        a=(ll)a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int phi(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }   
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
int Solve(int n,int m)
{
    if(m==1)return 0;
    if(n==1)return 1%m;
    if(n==2)return 2%m;
    if(n==3)return 9%m;
    if(n==4)return (1<<18)%m;
    int t=phi(m);
    int ans=(ll)mod_pow(n,phi(m),m)*mod_pow(n,Solve(n-1,phi(m)),m)%m;
    return ans;
}
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))printf("%d\n",Solve(n,m));
    return 0;
}