101550E （Exponial Gym）欧拉降幂公式

最新推荐文章于 2025-06-21 20:20:09 发布

Vici__

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本文介绍了一种使用欧拉定理解决数论中特定问题的方法，通过欧拉降幂公式来简化计算过程。代码示例展示了如何在C++中实现快速幂运算和欧拉函数，以高效解决给定两个数n和m的特定数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给定两个数n和m，求 $exponial(n) = n^{n-1^{n-2^{...^{1}}}}(modm)$ 。

题解：

使用欧拉定理降幂公式： $a^{b}(modm)=a^{\phi (p)+b(mod\phi (p))}(modp)$

这里引用一位大佬的公式证明：欧拉降幂公式的证明

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
typedef long long int ll;
using namespace std;
ll quick_pow(ll a,ll b,ll m)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%m;
        a=(a*a)%m;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll m)
{
    ll ans=m;
    for(ll i=2; i*i<=m; i++)
    {
        if(m%i)
            continue;
        while(m%i==0)
            m/=i;
        ans=ans/i*(i-1);
    }
    if(m!=1)
        ans=ans/m*(m-1);
    return ans;
}
ll f(ll n,ll m)
{
    if(m==1) return 0;
    if(n==1) return 1%m;
    if(n==2) return 2%m;
    if(n==3) return 9%m;
    if(n==4) return 262144%m;
    ll p=phi(m);
    return quick_pow(n,p+f(n-1,p),m);
}
int main()
{
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    printf("%lld\n",f(n,m)%m);
    return 0;
}