CodeForces 17 D.Notepad（指数循环定理）_codeforcenotepad-优快云博客

本文介绍了一种基于大数基数的排序算法实现方法，通过利用指数循环定理和快速幂运算来解决大基数下长数字的排序问题，尤其是在计算最后一页有多少个数字这一特定场景中。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

把所有 $b$ 进制无前导 $0$ 的长度为 $n$ 的数字写在本子上，一页 $c$ 个，问最后一页有多少个

Input

三个正整数 $b,n,c(2\le b< 10^{10^6},1\le n< 10^{10^6},1\le c\le 10^6)$

Output

输出最后一页上的数字个数

Sample Input

2 3 3

Sample Output

Solution

答案即为 $(b-1)\cdot b^{n-1}\ mod\ c$ ， $n$ 很大，要用到指数循环定理，即 $A^B\ mod\ C=A^{B\ mod\ \phi(C)+\phi(C)}\ mod\ C(B\ge \phi(C))$ ，对于 $n-1<\phi(c)$ 的情况直接快速幂即可，注意模完是 $0$ 答案是 $c$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1000005;
char b[maxn],n[maxn];
ll c;
int phi(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
int Deal(char *s,int mod)
{
    int ans=0,len=strlen(s);
    for(int i=0;i<len;i++)ans=(10ll*ans+s[i]-'0')%mod;
    return ans;
}
int mod_pow(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%c;
        a=(ll)a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(~scanf("%s%s%d",b,n,&c))
    {
        int x=Deal(b,c),y,z;
        int len=strlen(n);
        if(len<10)
        {
            y=0;
            for(int i=0;i<len;i++)y=10*y+n[i]-'0';
            y--;
        }
        else y=Deal(n,phi(c))-1+phi(c);
        z=(x+c-1)%c;
        int ans=(ll)z*mod_pow(x,y,c)%c;
        if(ans==0)ans=c;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}