GYM 101550 F.Fleecing the Raffle（概率）

最新推荐文章于 2020-06-14 23:34:44 发布

v5zsq

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分类专栏： GYM 杂题

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本文介绍了一种通过向抽奖盒中添加卡片来最大化中奖概率的方法。详细分析了如何通过数学推导找到最佳的卡片数量，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

一个抽奖盒里有 $n$ 个写着不同人的名字的卡片，你可以往其中放任意张写着自己名字的卡片，然后会从抽奖盒里不放回的取出 $p$ 张卡片，如果这 $p$ 张卡片中恰有一张写有你的名字的卡片视为中奖，问中奖的最大概率

Input

两个整数 $n,p(1\le p\le n\le 10^6)$

Output

输出中奖的最大概率

Sample Input

3 2

Sample Output

0.6

Solution

假设放了 $a$ 张卡片，那么中奖概率 $p(a)=\frac{C_n^{p-1}C_a^1}{C_{n+a}^p}=\frac{ap}{n-p+1}\prod\limits_{i=1}^a\frac{n-p+i}{n+i}$

考虑 $p(a)$ 和 $p(a+1)$ 的大小关系， $p(a+1)-p(a)=\frac{p(p-1)}{n-p+1}\prod\limits_{i=1}^a\frac{n-p+i}{n+i}(a-\frac{n-p+1}{p-1})$

故当 $a\le \lfloor\frac{n-p+1}{p-1}\rfloor$ 时有 $p(a+1)\ge p(a)$ ，否则 $p(a)\ge p(a+1)$ ，故当 $a=\lfloor\frac{n-p+1}{p-1}\rfloor+1=\lfloor\frac{n}{p-1}\rfloor$ 时 $p(a)$ 最大

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
#define eps 1e-8
double Solve(int n,int p,int a)
{
    double ans=1;
    for(int i=1;i<=a;i++)ans=ans*(n+i-p)/(n+i);
    ans=ans*a*p/(n-p+1);
    return ans;
}
int main()
{
    int n,p;
    while(~scanf("%d%d",&n,&p))
    {
        int a=n/(p-1);
        double ans=Solve(n,p,a);
        printf("%.10f\n",ans);
    }
    return 0;
}