【HAOI 2008】硬币购物

题目描述

硬币购物一共有 $4$ 种硬币。面值分别为 $c_1,c_2,c_3,c_4$。某人去商店买东西，去了 $tot$ 次。每次带 $d_{ij}$ 枚 $c_{ij}$ 硬币，买 $s_i$ 的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。$d_i,s\le 100000$，$tot\le 1000$。

算法分析

并不会多重背包，有空再去学，然而多重背包貌似也不能做。

先考虑没有限制的情况，就是一个完全背包，设已计算出的用前 $n$ 种硬币购买价值 $i$ 的物品的方案数为 $f[i]$，则仅给第 $j$ 种硬币加上选取个数满足 $[0,d_{i,j}]$ 限制时的方案数为 $f[i]-f[i-c[j]\times (d[j]+1)]$。

为什么呢？给第 $j$ 种硬币加上这种限制后使用该种硬币的数量不得超过 $d[j]$，考虑补集转化，我们可以先让它先不使用 $d[j]+1$ 枚该种硬币，最后再使用 $d[j]+1$ 枚该种金币，即 $f[i-c[j]\times (d[j]+1)]$，这样无论之前怎么选都能保证选择的硬币个数大于 $d[i]$，最后再用总的方案数减去不满足条件的方案数就是给第 $j$ 种硬币加上限制的方案数。

注意到，如果我们给多种硬币加上限制，可能会有重复减去的部分，即该方案既满足使用硬币 $x$ 的数量大于 $d[x]$ 又满足使用硬币 $y$ 的数量大于 $d[y]$，它的方案数等于 $f[i-c[x]\times (d[x]+1)-c[y]\times (d[y]+1)]$，将多减的部分加回去就可以了。这实际上使用的是容斥原理，可以用位运算的方法方便的计算出来。

注意要开 $64$ 位整数保存结果。

代码实现

#include <cstdio>
typedef long long int ll;
int c[4],d[4];ll f[100005],sub[4];
int main() {
	f[0]=1;
	for(int i=0;i<4;++i) {
		scanf("%d",&c[i]);
		for(int j=c[i];j<=100000;++j) f[j]+=f[j-c[i]];
	}
	int tot;scanf("%d",&tot);
	while(tot--) {
		for(int i=0;i<4;++i) {
			scanf("%d",&d[i]);
			sub[i]=c[i]*(d[i]+1LL);
		}
		int s;scanf("%d",&s);ll ans=0;
		for(int i=0;i<(1<<4);++i) {
			int cnt=0;ll t=0;
			for(int j=0;j<4;++j) if(i>>j&1) {
				++cnt;t+=sub[j];
			}
			if(s-t>=0) (cnt&1)?ans-=f[s-t]:ans+=f[s-t];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}