【HAOI 2008】硬币购物

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本文介绍了一种使用动态规划解决硬币支付问题的方法。通过计算不受限制与受限制的支付方式数量，结合容斥原理，高效求解特定条件下的支付方案数。代码实现了01背包的思想。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【算法】

此题是一道好题！

首先，我们发现 : 付款方法数 = 不受限制的方法数 - 受限制的方法数

那么，我们怎么求呢？

我们用dp求出不受限制的方法数（f[i]表示买i元的东西，不受硬币限制，有多少种方案），只需用01背包的

方法就可以了，实现非常简单

那么受限制的方法数怎么求呢？由容斥原理可知，受限制的方法数 = 第一种硬币超限 + 第二种硬币超限 + ...

- 第一，二，三，四种硬币超限

第一种硬币超限，其实就是先选（d1 + 1)枚第一种硬币，其他随便选，那么对应的数量就是

f[s - (d1 + 1） * c[1]]，其他情况类似，注意当减下来小于零时是不可以的

于是，这道题便迎刃而解了！

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXS 100010

long long i,j,d1,d2,d3,d4,T,s;
long long c[5];
long long ans;
long long f[MAXS];

int main() 
{
		
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&c[1],&c[2],&c[3],&c[4],&T);
		f[0] = 1;
		for (i = 1; i <= 4; i++) 
		{
				for (j = c[i]; j < MAXS; j++) 
				{
						f[j] += f[j-c[i]];
				}
		}
		while (T--) 
		{
				scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&d1,&d2,&d3,&d4,&s);
				ans = f[s];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] >= 0) ans -= f[s - (d1 + 1) * c[1]];
				if (s - (d2 + 1) * c[2] >= 0) ans -= f[s - (d2 + 1) * c[2]];
				if (s - (d3 + 1) * c[3] >= 0) ans -= f[s - (d3 + 1) * c[3]];
				if (s - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans -= f[s - (d4 + 1) * c[4]];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2] >= 0) ans += f[s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2]];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] - (d3 + 1) * c[3] >= 0) ans += f[s - (d1 + 1) * c[1] - (d3 + 1) * c[3]];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans += f[s - (d1 + 1) * c[1] - (d4 + 1) * c[4]];
				if (s - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3] >= 0) ans += f[s - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3]];
				if (s - (d2 + 1) * c[2] - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans += f[s - (d2 + 1) * c[2] - (d4 + 1) * c[4]];
				if (s - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans += f[s - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4]];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3] >= 0) ans -= f[s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3]];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2] - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans -= f[s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2] - (d4 + 1) * c[4]];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans -= f[s - (d1 + 1) * c[1] - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4]];
				if (s - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans -= f[s - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4]];
				if (s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4] >= 0) ans += f[s - (d1 + 1) * c[1] - (d2 + 1) * c[2] - (d3 + 1) * c[3] - (d4 + 1) * c[4]];
				printf("%lld\n",ans);	
		} 
	
		return 0;	
}