洛谷p1896互不侵犯

原题

先思考怎么表示状态,用f[i][j]表示第i行放j个显然不行,那么需要一个可以表示出状态的变量,由于m很小,可以用二进制表示每个位置是否放置,因此f[i][j][z]表示第i行放置状态j时共放置z个国王的方案数,本行只收上一行的状态。

我用的是状压dfs,和状压dp想法一样,而且比较好实现,另外复杂度相同。

状压dfs(((2^n)^2)*k*n)最坏情况1e9,可以ac。

x表示行,y是列(从0),zhuang是你所求的上一行的状态,net是本行的状态(即本行的zhuang),now表示现有的国王总数,start存初值,l保证国王不相邻(其实可以直接跳两步,就不需要l了)

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,k,cnt,f[11][1125][101];
int dfs(int x,int y,int zhuang,int net,int now,int start,int l)
{
    if(y==n)
    {
        f[x+1][net][now]+=start;
        return 0;
    }
    dfs(x,y+1,zhuang,net,now,start,l);
    if(now<k&&(((1<<y)&zhuang)==0)&&y-l>1)
    {
        net=net|(1<<y);
        if(y>0)
        net=net|(1<<y-1);
        if(y<n-1)
        net=net|(1<<y+1);
        dfs(x,y+1,zhuang,net,now+1,start,y);
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[1][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=0;j<(1<<n);++j)
      for(int z=0;z<=k;++z)
       if(f[i][j][z])
       dfs(i,0,j,0,z,f[i][j][z],-2);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<(1<<n);++i)
    ans+=f[n+1][i][k];
    cout<<ans;
    return 0;   
} 

注意:洛谷的数据更改,需要将int改为长整型

### 关于SCOI2005 互不侵犯问题的DFS解法 对于SCOI2005 互不侵犯这一问题,采用深度优先搜索(DFS)的方法同样能够解决问题。这种方法通过尝试每一种可能的情况来寻找满足条件的结果。 #### DFS解题思路 在解决此问题时,DFS算法会逐行放置国王,并确保任何两个国王之间不会互相攻击。具体来说: - 使用二进制数表示每一行的状态,其中`1`代表当前位置已放置国王,`0`则为空白。 - 对于每一个新的行,在所有未被先前行中的国王威胁的位置上尝试放置新国王。 - 如果当前行的所有列都遍历完毕,则回溯至上一行继续探索其他可能性。 - 当成功放置了指定数量的国王后,计数器加一;如果某次递归达到了最后一行且仍未完成目标,则返回并调整之前的决策。 为了提高效率,还需要提前计算出哪些状态是合法的——即不存在连续两位都是`1`的状态,这可以通过简单的枚举实现[^4]。 #### Python代码实现 下面是一个基于上述逻辑编写的Python程序片段用于求解该问题: ```python def dfs(row, col_mask, left_diag, right_diag): global n, k, ans if row == n: if sum(bin(col)[2:].count('1') for col in cols) == k: ans += 1 return for i in range(1 << n): if bin(i).count('1') + sum(cols[:row]) > k: continue ok = ((~col_mask & ~left_diag & ~right_diag & (i)) == i) if not ok or '11' in bin(i): continue new_col_mask = col_mask | i new_left_diag = (left_diag | i) << 1 new_right_diag = (right_diag | i) >> 1 dfs(row + 1, new_col_mask, new_left_diag, new_right_diag) n, k = map(int, input().split()) cols = [0]*n ans = 0 dfs(0, 0, 0, 0) print(ans) ``` 这段代码定义了一个名为`dfs()`函数来进行深度优先搜索,它接收四个参数分别表示当前处理的是哪一行(`row`)、当前列上的占用情况(`col_mask`)、左斜线方向上的占用情况(`left_diag`)以及右斜线方向上的占用情况(`right_diag`)。全局变量`n`, `k`用来保存棋盘大小和要放置的国王数目,而`ans`则是最终答案的数量。
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