【洛谷P1896】互不侵犯【状压DP】

ssllyr

于 2023-08-12 08:24:05 发布

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分类专栏： #状压DP DP 文章标签：算法

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探讨N×N棋盘上放置K个互不攻击国王的排列数，使用动态规划方法求解

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

在 $\times N$ 的棋盘里面放 $K$ 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 $8$ 个格子。

输入格式

只有一行，包含两个数 $N, K$ 。

输出格式

所得的方案数

样例输入 #1

3 2

样例输出 #1

提示

数据范围及约定

对于全部数据， $\le N \le 9$ ， $\le K \le N\times N$ 。

分析

看数据范围，一眼状压。

关键看阶段和状态怎么设计，一般来讲都是一行一行向下转移，而且影响也只是到下一行，转移显然跟国王个数有关，所以就设 $f [i] [j] [s]$ 为填了前 $i$ 行，已经用了 $j$ 个国王，当前行的状态为 $s$ 的方案总数。

从上一行转移过来： $f[i][j]=Σf[i−1][j−cnt[i]][s′]f[i][j]=\Sigma f[i-1][j-cnt[i]][s']$
其中cnt[i]是当前状态1的个数，可以预处理出来。 $s^{'}$ 是所有合法状态，判断合法状态只需要左移右移判断“&”是否为0就行。

一个优化，因为同一行当中两个1相邻是不允许的，所以可以预处理同一行中间可行的所有状态，大大缩减枚举。

上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n,k;
ll f[10][90][1<<10],ans;
ll cnt[1<<10],ok[1<<10],tot;

int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=0;i<=(1<<n)-1;i++)
	{
		int t=i;
		while(t)
		{
			if(t&1) cnt[i]++;
			t>>=1;
		}
		if(((i<<1)&i)==0&&((i>>1)&i)==0) ok[++tot]=i;//预处理
	}
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int h=1;h<=tot;h++)
		{
			int s1=ok[h];//这一行 
			for(int l=1;l<=tot;l++)
			{
				int s2=ok[l];//上一行 
				if((s1&s2)==0&&((s1<<1)&s2)==0&&((s1>>1)&s2)==0)
				{
					for(int j=0;j<=k;j++)
					{
						if(j-cnt[s1]>=0) 
						f[i][j][s1]+=f[i-1][j-cnt[s1]][s2];
					}
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		ans+=f[n][k][ok[i]];
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}