洛谷P1896（状压DP）

直接说思路：

• 先解释一下什么叫“状态”：状态也就是每一行若干个国王的摆放方案，比如棋盘为3×3，我们在第1行的第1个格放国王，第二个格不放，第三个格放，那么这一行的状态为101（即放了国王就记为1，不放国王就记为0），这种状态满足国王之间隔着至少一个空格，是合法的，所以我们称之为合法状态，这个状态转成十进制就是5；如果是第1个格和第2个格都放了1，第3个格不放，那么这一行的状态为110，两个国王挨着了，所以是不合法状态，这个状态转成十进制就是6

• 用到的关键数据结构：

  • state数组：存每一行合法的状态，其中下标为这个状态的编号。比如state[2]=1，就表示第2个合法状态为1，转化成二进制就是001，也就是第一个格、第二个格都没放国王，第3个格子才摆放了1个国王
  • king数组：存对应状态下国王的个数，比如state[2]=1，那么king[2]=1，即第2种合法状态下，只摆了1位国王
  • ans：这个变量的值是每一行中总的合法状态的个数

• 思路讲解

  • dp[i][j][l]：表示前i行一共用了l位国王，并且第i行国王的摆放状态是第j种合法状态下的方案总数
  • 初始化init()：初始化state数组，king数组，计算合法状态数ans
  • 先解决第一行的摆放情况
  • 然后从第二行开始，用一套二层循环，两层循环都是循环state数组，其中外层循环是当前行的摆放状态，内层循环当作上一行的摆放状态，通过位运算更新当前行的dp数组
  • 最后遍历所有方案，输出所有的dp[n][j][k]的和（k是输入的国王总数）
  • 注意，位运算一定一定要加括号，不然很容易出错，因为位运算符的优先级都很低（包括<<, >>, |, ^, &）

还有一点是，每一行有多少个合法状态，涉及到不含连续1的非负整数，本题n最大为9，最多有89种合法状态，所以state数组和king数组开到100就可以

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxstate 100
using namespace std;
#define ll long long

//state[]存的是每一行可行的状态
//king[]存的是对应状态中可以存放的国王个数
ll state[maxstate],king[maxstate];
ll sum;
int ans;

int n,k;
ll dp[10][100][100];

//计算x的二进制有多少个1
int countOne(int x){
    int cnt=0;
    while (x){
        if(x%2)
            cnt++;
        x>>=1;
    }
    return cnt;
}

void init(){
    int tot=(1<<n)-1;
    for(int i=0;i<=tot;i++){
        if(!((i<<1)&i)){//这一行是用来判断i本身有没有相邻的1
            state[++ans]=i;
            king[ans]=countOne(i);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    init();
    //先处理第一行
    for(int i=1;i<=ans;i++){
        if(king[i]>k)
            continue;
        dp[1][i][king[i]]=1;
    }

    //然后从第二行开始处理
    for(int i=2;i<=n;i++){
        //j是当前行的状态
        for(int j=1;j<=ans;j++){
            //p是上一行的状态
            for(int p=1;p<=ans;p++){
                if(state[p]&state[j])
                    continue;
                if((state[p]<<1)&state[j] )
                    continue;
                if(state[p]&(state[j]<<1))
                    continue;
                for(int s=0;s<=k;s++){
                    if(king[j]+s>k)
                        break;
                    //当前行的状态个数直接是上一行的合法状态的加和
                    dp[i][j][king[j]+s]+=dp[i-1][p][s];
                }
            }
        }
    }

    //遍历整个dp[n][]，把所有dp[n][][k]加起来，也就是用光所有国王的方案的个数加起来
    for(int i=1;i<=ans;i++)
        sum+=dp[n][i][k];

    printf("%lld",sum);
}

参考博客：
1.https://www.luogu.com.cn/blog/user16213/solution-p1896
2.https://www.luogu.com.cn/blog/da-ju-ruo-pb/solution-p1896