常用不常规积分

一.方型法

①：

$$\int \frac{a_{1}cost-b_{1}sint}{a_{1}sint+b_{1}cost}dt=ln|a_{1}sint+b_{1}cost|+C$$
于是：
$$\int \frac{a_{2}sint+b_{2}cost}{a_{1}sint+b_{1}cost}dt=A\int \frac{a_{1}sint+b_{1}cost}{a_{1}sint+b_{1}cost}dt+B\int \frac{a_{1}cost-b_{1}sint}{a_{1}sint+b_{1}cost}dt$$
待定系数法求出$A,B$
$$原式=At+ln|a_{1}sint+b_{1}cost|+C$$

②：

$$\int \frac{1}{1+cost}dt=\int \frac{1}{1+co{s}^2\frac{t}{2}-si{n}^2\frac{t}{2}}dt=\int \frac{1}{2co{s}^2\frac{t}{2}}dt=\int se{c}^2\frac{t}{2}d\frac{t}{2}=tan\frac{t}{2}$$

二.记忆型

①：

$$(sect{)}^{\prime }=sect\cdot tant$$
$$(sect+tant{)}^{\prime }=(se{c}^{2}t+sect\cdot tant)$$
$$\int sectdt=ln|sect+tant|+C$$
推导：
$$\int sectdt=\int \frac{sect(sect+tant)}{(sect+tant)}dt=\int \frac{(se{c}^{2}t+sect\cdot tant)}{(sect+tant)}dt=\int \frac{1}{sect+tant}d(sect+tant)=ln|sect+tant|+C$$

②：

$$(csct{)}^{\prime }=-csct\cdot cott$$
$$(csc+cot{)}^{\prime }=-(cs{c}^2+csc\cdot cot)$$
$$\int csctdt=\int \frac{csct(csct+cott)}{(csct+cott)}dt=\int \frac{(cs{c}^{2}t+csct\cdot cott)}{(csct+cott)}dt=\int \frac{-1}{csct+cott}d(csct+cott)=-ln|csct+cott|$$

万能公式的那种

令$u=tan\frac{x}{2}$
$x=2arctanu$
$dx=\frac{2}{1+u^2}$

$sinx=\frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{1}==\frac{2sin\frac{x}{2}c}{si{n}^2\frac{x}{2}+co{s}^2\frac{x}{2}}$