[线筛五连]线筛莫比乌斯函数

例题太多

线筛莫比乌斯函数

莫比乌斯函数的定义

以下内容摘自百度

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：
1.莫比乌斯函数$μ(n)$的定义域是$N^+$
2.$μ(1)=1$
3.当n存在平方因子时，$μ(n)=0$
4.当n是素数或奇数个不同素数之积时，$μ(n)=-1$
5.当n是偶数个不同素数之积时，$μ(n)=1$

表达式如下：

$$\mu(x)=\left\{ \begin{array}\\ 1&&{x=1}\\ (-1)^n&&{x=p_1p_2...p_n}\\ 0&&{其他情况} \end{array}\right.$$

莫比乌斯函数的性质

有很多神奇的性质，这里只需要用到它的积性，其他的我会在莫比乌斯反演的总结里提到。

这玩意儿的积性很容易证，分类讨论一下就好了，博主懒得写了。。。

莫比乌斯函数的线筛

很容易讨论。。。

设$T=i\times p[j]$。

1.当$T$为质数时，根据定义$\mu(T)=-1$；

2.当$T$拥有多个最小质因数（即$i\ mod\ p[j]=0$）时，根据定义$\mu(T)=0$；

3.当$T$的最小质因数只有一个（即$i\ mod\ p[j]\ne 0$）时，显然此时$gcd(i,p[j])=1$，根据$\mu(x)$的积性，$\mu(T)=\mu(i)\times \mu(p[j])=-\mu(i)$；

线筛方程也贼简单：

$$\mu(T)=\left\{ \begin{array}\\ -1&&{T\in Prime}\\ 0&&{i\ mod\ p[j]=0}\\ -\mu(i)&&{i\ mod\ p[j]\ne 0} \end{array}\right.$$

代码

void getmiu()
{
    miu[1]=check[1]=1;
    R i,j,t;
    for(i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!check[i])miu[i]=-1,p[++p[0]]=i;
        for(j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=p[j]*i;
            if(t>N)break;
            check[t]=1;
            if(i%p[j]==0){miu[t]=0;break;}
            miu[t]=-miu[i];
        }
        miu[i]+=miu[i-1];
    }
}