线筛欧拉函数解析-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ShadyPi/article/details/80287958

伪模板链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1390

线筛欧拉函数

欧拉函数定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（ $\varphi(1)=1$ ）

写成式子如下：

φ (x) = \sum i = 1 x [g c d (i, n) = 1]

$\varphi(x)=\sum_{i=1}^x[gcd(i,n)=1]$

欧拉函数性质

计算欧拉函数的值时，有公式如下：

φ (x) = x \prod p | x (1 - 1 p)

$\varphi(x)=x\prod_{p|x}(1-\frac{1}{p})$

那么显然，对于互质的两个数 $x,y$ ，其质因数的集合完全不相同，就有：

φ (x y) = [x y \prod p | x y (1 - 1 p)]

$\varphi(xy)=[xy\prod_{p|xy}(1-\frac{1}{p})]$

φ (x y) = [x \prod p 1 | x (1 - 1 p 1)] \times [y \prod p 2 | x (1 - 1 p 2)]

$\varphi(xy)=[x\prod_{p_1|x}(1-\frac{1}{p_1})]\times [y\prod_{p_2|x}(1-\frac{1}{p_2})]$

φ (x y) = φ (x) \times φ (y)

$\varphi(xy)=\varphi(x)\times \varphi(y)$

所以，欧拉函数是积性的。

另外，欧拉函数还可以由莫比乌斯函数推导，具体的将在莫比乌斯反演总结中叙述。

欧拉函数的线筛

设 $T=i\times p[j]$

1.当 $T$ 为素数时，显然，与 $T$ 互质的数有 $T-1$ 个；

2.当 $T$ 拥有多个最小质因子（即 $i\ mod\ p[j]=0$ ）时，根据上面最初的公式， $i$ 与 $T$ 的质因子集合是一样的，所以区别就在于前面的系数，故 $\varphi(T)=\varphi(i)\times p[j]$ ；

3.当 $T$ 的最小质因子仅有一个（即 $i\ mod\ p[j]\ne 0$ ）时，显然 $gcd(i,p[j])=1$ ，由于欧拉函数为积性函数，所以有 $\varphi(T)=\varphi(i)\times\varphi(p[j])=\varphi(i)\times(p[j]-1)$ ；

讨论完毕，得到线筛方程：

φ (T) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ T - 1 φ (i) \times p [j] φ (i) \times (p [j] - 1) T \in P r i m e i m o d p [j] = 0 i m o d p [j] \neq 0

$\varphi(T)=\left\{ \begin{array}\\ T-1&&{T\in Prime}\\ \varphi(i)\times p[j]&&{i\ mod\ p[j]=0}\\ \varphi(i)\times(p[j]-1)&&{i\ mod\ p[j]\ne 0}\\ \end{array}\right.$

代码

void get()
{
    R i,j,t;
    check[1]=phi[1]=1;
    for(i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!check[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for(j=1;j<=p[0];++j)
        {
            t=i*p[j];if(t>N)break;
            check[t]=1;
            if(i%p[j]==0){phi[t]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
        phi[i]+=phi[i-1];
    }
}