莫比乌斯反演套路1_线性筛法

线性筛法是O（n），不然它就不叫线性。

为什么线性呢？

先上代码：

fo(i,2,maxn) {
        if(!bz[i])
            p[++p[0]]=i;
        fo(j,1,p[0]) {
            if(maxn / p[j] < i) break;//出界处理，用除法防止爆炸。
            int k=i*p[j];
            bz[k]=1;
            if(i % p[j] == 0) break;//！！！线性的关键之处，就比普通筛法多了这一句话。
        }
}

---

普通筛法：

对于普通的约瑟夫筛法，其实只是少了一句“if(i % p[j] == 0) break;”

普通约瑟夫筛法的时间十分好求，就是每个数约数的个数的和，因为每个数都会被它所有的约数筛过一次。

可以粗略地估计为O（n log n）

线性筛法：

首先要明白的是:

在枚举已求出的质数去筛其他数的时候，p[j]一定是i*p[j]最小的质因子。

如果说i有更小的的质因子，那么在前面的循环就会因为“if(i % p[j] == 0) break;”而退出循环。

这样每个数只会被它最小的质因子筛去，时间复杂度是O(n)的。

一些用法：

对于积性函数，在p[j]不是i的约数时直接相乘，如果是，就需要知道这个函数的解析式。

积性函数，根据个人的经验，函数值肯定可以通过分解质因数之后用各个质因子和指数乱搞出来，否则它就不叫积性函数。

当然后时候比较难退，参考下面不是积性函数的方法。

假设要求$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(gcd(i,j))$，其中f是一个积性函数，多组询问。
经过若干变形后都可变成$\sum_{T=1}^{n} \lfloor {n\over T} \rfloor \lfloor{m\over T} \rfloor\sum_{p|T} f(p)*\mu(T/p)$

对$\lfloor {n\over T} \rfloor \lfloor{m\over T} \rfloor$分块，那么需要预处理$\sum_{p|T} f(p)*\mu(T/p)$的前缀和，这里如果死磕线筛就要把握好性质，比如要使$\mu(T/p)$大于零，则p的各个质因子的指数与T的对应的质因子的指数的差就不能超过1，否则根据定义，$\mu=0$,这样去一个个推就行了。

杜教筛：

……