欧几里得与扩展欧几里得介绍->POJ1061

1.欧几里德

欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

---

第一种证明：

表示成a = kb + r，则r = a mod b

　 假设d是a,b的一个公约数，则有

　 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　 因此d是(b,a mod b)的公约数

　 假设d 是(b,a mod b)的公约数，

　 则d | b , d |r ，但是a = kb +r

　 因此d也是(a,b)的公约数

　 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

第二种证明：

要证欧几里得算法成立，即证: 

    gcd(a,b)=gcd(b,r)
(其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b)

下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）:

设c是a，b的最大公约数，
则有 a=mc，b=nc
(其中m，n为正整数，且m，n互为质数)
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c

假设n，m-qn不互质:
则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，
且d>1,
则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,
这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，
所以n ，m-qn一定互质

则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得证。

代码：

long long gcd(long long a,long long b) 
{
    return b ? gcd(b , a % b) : a;
}

---

2.扩展欧几里得

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

---

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

---

例题

题意：

   青蛙A和青蛙B，分别从一条首尾相接的数轴上坐标x、y出发。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。 现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

题解：

根据题目意思，我们可以得出这样一个方程：
设两只青蛙需要t步才能相遇，则

(x-y)%L = (n-m)*t%L

该式可以化简，即：

[(x-y)+(m*t-n*t)]%L=0

令a=x-y , b=n-m
则原式可以等价为：

a≡b*t mod L

问题变成了求解同余方程。

也可以继续化简成：

a+k*L=b*t

即，方程b*t-k*L=a是否有解

---

使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

对于不定整数方程ax+by=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

在找到a * x0+b * y0 = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后，
由于a*(x0-b/Gcd(a,b))+b*(y0+a/Gcd(a,b)) = Gcd(a,b)
所以 a * x0+b * y0 = Gcd(a, b)的其他整数解满足：

x’ = x0 - b/Gcd(a, b) * t
y’ = y0 + a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

至于ax+by=c的整数解，只需将a * x+b * y = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可。

在找到a * x0+b * y0 = Gcd(a, b)的一组解x0,y0后，应该是得到a * x+b * y = c的一组解:

x1 = x0*(c/Gcd(a,b)),
y1 = y0*(c/Gcd(a,b))

由于a*(x1 - b/Gcd(a,b)) + b*(y1+a/Gcd(a,b)) = c
a * x+b * y = c的其他整数解满足：

x = x1-b/Gcd(a, b) * t
y = y1+a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

x 、y就是a * x+b * y = c的所有整数解。

---

用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程

a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0… d-1}。

设ans=x*(b/d),s=n/d;

方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

---

代码：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std ;
//扩展欧几里得模板
long long extend_gcd(long long a ,long long b ,long long &x ,long long &y)
{
    if(a == 0 && b == 0) return -1 ;
    if(b == 0)
    {
        x = 1 ;
        y = 0 ;
        return a ;
    }
    long long d = extend_gcd(b , a % b , y , x) ;
    y -= a / b * x ;
    return d ;
}
int main()
{
    long long x , y , m , n , L ;
    long long k0 , t0 , ans , step = 0;
    cin >> x >> y >> m >> n >> L ;
    long long gcd = extend_gcd(L , (n - m) , k0 , t0 ) ;
    long long c = x - y ;
    if(c % gcd != 0) printf("Impossible\n");
    else
    {
        ans = t0*(x-y)/gcd ;
        long long r = L / gcd ;//约去公因子
        ans = (ans % r + r) % r ;//求非负min(ans)
        cout << ans << endl ;
    }
    return 0;
}