【动态规划】JZOJ_1758 过河

博客围绕过河问题展开,给出n根柱子沉浮规律,市民在t+1时刻有移动选择。运用动态规划思路,设f[i][j]表示第i个单位时间时j点是否能到达,通过状态转移方程求解。还根据数据算出时间范围约为800,最后给出代码求解最短过河时间。

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题意

给出nnn根柱子,每根柱在000时刻沉下去,然后有aaa个时间单元浮上来,bbb个时间单元沉下去,再有aaa个时间单元浮上来,bbb个时间单元沉下去,等等。
t+1t+1t+1时刻,市民可以选择距离t时刻所在位置555根柱子之内的可靠的柱子上﹑岸上,或者站在当前的柱子上(如果可靠)或岸上。
求出最短的过河时间,如果不能过输出NoNoNo

思路

f[i][j]f[i][j]f[i][j]为第iii个单位时间时,jjj这个点是否能到达,可得:
f[i][j]=f[i−1][j−5]∣f[i−1][j−4]……f[i][j+5]f[i][j]=f[i-1][j-5]|f[i-1][j-4]……f[i][j+5]f[i][j]=f[i1][j5]f[i1][j4]f[i][j+5]
由于不知道需要多少时间,所以我们可以根据数据算出来范围大约是800800800

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

int x, n;
int a[1001], b[1001], f[2][1006];

int main() {
	scanf("%d", &x);
	while (x--) {
		int flag = 0;
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d %d", &a[i], &b[i]);
		memset(f, 0, sizeof(f));
		for (int ans = 1; ans <= 800; ans++) {
			memset(f[ans & 1], 0, sizeof(f[ans & 1]));
			f[!(ans & 1)][0] = 1;
			for (int i = 1; i <= n; i++) {
				if ((ans - 1) % (a[i] + b[i]) + 1 > a[i]) f[ans & 1][i] = 0;
				else {
					int l = std::max(0, i - 5);
					for (int j = l; j <= i + 5; j++)
						f[ans & 1][i] |= f[!(ans & 1)][j];
				}
			}
			for (int i = 0; i <= 5; i++)
				flag |= f[ans & 1][n - i + 1];
			if (flag) {
				printf("%d\n", ans + 1);
				break;
			}
		}
		if (!flag) printf("No\n");
	}
}
### 动态规划中的黑熊过河问题 黑熊过河问题是经典的动态规划问题之一,其核心在于通过状态转移方程优化解空间。以下是关于该问题的刷表法实现方法及其解题思路。 #### 1. 问题描述 假设有一条河流被分成若干段,每一段都有一定的代价或者收益值。黑熊从起点出发,可以选择向左下或右下的方向移动到下一阶段的位置。目标是从起始位置到底部某一点的最大总收益(或最小总代价)。 此问题可以通过二维数组表示路径上的数值分布,例如: ``` 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 ``` #### 2. 刷表法的核心思想 刷表法是一种自底向上填充表格的方法,在动态规划中非常常见。它通过对子问题的结果逐步扩展至更大规模的问题求解,最终得到全局最优解。对于本问题而言,刷表法的具体过程如下: - 定义 `dp[i][j]` 表示从第 i 层第 j 个节点到底层所能获得的最大收益。 - 初始化底层数据作为边界条件:`dp[n-1][j] = grid[n-1][j]` (n 是层数),即最后一层的数据直接赋给 dp 数组[^1]。 - 自底向上更新状态转移关系: \[ dp[i][j] = grid[i][j] + \max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) \] 其中 \(grid[i][j]\) 表示输入矩阵中对应位置的值。 #### 3. Python 实现代码 下面是基于上述逻辑编写的 Python 程序: ```python def max_path_sum(triangle): n = len(triangle) dp = [[0]*i for i in range(1, n+1)] # Initialize the last row of DP table with triangle's bottom values. for j in range(n): dp[-1][j] = triangle[-1][j] # Bottom-up calculation using state transition equation. for i in range(n-2, -1, -1): # Traverse from second-last layer to top. for j in range(len(triangle[i])): dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) # Update current cell based on children cells. return dp[0][0] # The result is stored at the first element after all updates. # Example usage: triangle = [ [7], [3, 8], [8, 1, 0], [2, 7, 4, 4], [4, 5, 2, 6, 5] ] print(max_path_sum(triangle)) # Output should be 30 according to given example data set. ``` #### 4. 复杂度分析 时间复杂度为 O(N²),因为我们需要遍历整个三角形结构并计算每个节点的最佳路径;空间复杂度同样为 O(N²),但如果仅存储当前行和下一行,则可将其降低到 O(N)[^2]。 ---
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