【差分约束】POJ_1275 Cashier Employment

nymph181

于 2019-03-29 21:24:50 发布

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分类专栏：差分约束文章标签：差分约束

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解决一个关于人员调度的问题，通过建立差分约束系统并使用SPFA算法寻找满足商店需求的最少工作人员数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有 $n$ 个人，每个人会从 $t_i$ 开始工作 $8$ 小时。商店的第 $i$ 个小时需要 $r_i$ 个人，求出需要的最少人数满足商店的要求。

思路

设 $r_i$ 为商店第 $i$ 个小时需要的人， $t_i$ 为第 $i$ 个小时开始可以工作的人， $x_i$ 为第 $i$ 个小时已经在工作的人，根据题意可得，
$xi−8+xi−7+...+xi≥rix_{i-8}+x_{i-7}+...+x_{i}\geq r_i$
我们设 $s_i$ 为 $x_{0}+x_{1}+...+x_{i}$
那么有
$si−si−8≥ris_i-s_{i-8}\geq r_i$
$si+s24−si+16≥ris_i+s_{24}-s_{i+16}\geq r_i$ ｛隔天｝
$si−si−1≥0s_i-s_{i-1}\geq0$
$si−1−si≥−tis_{i-1}-s_i\geq-t_i$
由于上面的第二条中出现了 $s_{24}$ 这一未知数，不满足差分约束的条件，所以我们可以枚举 $s_{24}$ ，记为 $a n s$ 。
由于求出的 $s_{24}$ 可能小于 $a n s$ ，导致第二个条件不满足，所以我们还要多加一个条件 $s24−s0≥anss_{24}-s_0\geq ans$ 。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>

int T, tot, f;
int head[1001], next[1001], ver[1001], edge[1001], cnt[25], d[25], v[25];
int r[25], t[25], x[25];

void add(int u, int v, int w) {
	ver[++tot] = v;
	edge[tot] = w;
	next[tot] = head[u];
	head[u] = tot;
}

int spfa(int s) {
	std::queue<int> q;
	memset(d, -127 / 3, sizeof(d));
	memset(v, 0, sizeof(v));
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	v[0] = 1;
	d[0] = 0;
	cnt[0] = 1;
	q.push(0);
	while (q.size()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		v[u] = 0;
		for (int i = head[u]; i; i = next[i]) {
			int to = ver[i];
			if (d[to] < d[u] + edge[i]) {
				d[to] = d[u] + edge[i];
				if (!v[to]) {
					if (++cnt[to] > 24) return 0;
					v[to] = 1;
					q.push(to);
				}
			}
		}
	}
	if (s == d[24]) return 1;
	else return 0;
}

int main() {
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		memset(t, 0, sizeof(t));
		f = 0;
		for (int i = 1; i <= 24; i++)
			scanf("%d", &r[i]);
		int n, a;
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d", &a);
			t[a + 1]++;
		}
		for (int s = 0; s <= n; s++) {
			memset(head, 0, sizeof(head));
			tot = 0;
			add(0, 24, s);
			for (int i = 1; i <= 24; i++) {
				if (i > 8) add(i - 8, i, r[i]);
				else add(16 + i, i, r[i] - s);
				add(i - 1, i, 0);
				add(i, i - 1, -t[i]);
			}
			if (spfa(s)) {
				f = 1;
				break;
			}
		}
		if (f) printf("%d\n", d[24]);
		else printf("No Solution\n");
	}
}