【差分约束】POJ_1201 Intervals

最新推荐文章于 2020-11-22 12:53:24 发布

nymph181

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分类专栏：差分约束文章标签：差分约束

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本文介绍了一种利用最短路径算法解决特定序列问题的方法。通过构建图模型并运用松弛操作，可以高效地找到满足一系列条件的序列最小长度。该方法首先定义了节点间的距离关系，并通过SPFA算法求解最长路径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出 $n$ 个形如 $c”“a\ b\ c”$ 的式子，表示在 $a$ 和 $b$ 之间至少有 $c$ 个不同的数。求出满足这 $n$ 个条件的序列的最小长度。

思路

设 $d [i]$ 为 $0∼i0\sim i$ 的数字中有多少个在序列里，由题意得 $db−da−1≥cd_b-d_{a-1}\geq c$ 。

我们可以发现，这个式子很像最短路中的松弛操作 $d_v>=d_u+w(u,v)$ 。那么我们把上面得出的式子移项，变成 $db≥da−1+cd_b\geq d_{a-1}+c$ ，于是我们就可以在 $a - 1$ 和 $b$ 中建一条长度为 $c$ 的边。

由于 $d$ 是有联系的，我们还发现两个条件 $d_i-d_{i-1}>=0;d_{i-1}-d_i>=-1$ 。

按照这样建图后，根据 $db≥da−1+cd_b\geq d_{a-1}+c$ ，我们就可以跑最长路求出 $d$ 。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

int n, tot, s = 50000, t;
int head[50001], next[150001], ver[150001], edge[150001], v[50001], d[50001];

void add(int u, int v, int w) {
	ver[++tot] = v;
	next[tot] = head[u];
	edge[tot] = w;
	head[u] = tot;
}

void spfa() {
	std::queue<int> q;
	memset(d, -127 / 3, sizeof(d));
	v[s] = 1;
	d[s] = 0;
	q.push(s);
	while (q.size()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		v[u] = 0;
		for (int i = head[u]; i; i = next[i]) {
			int to = ver[i];
			if (d[to] < d[u] + edge[i]) {
				d[to] = d[u] + edge[i];
				if (!v[to]) {
					v[to] = 1;
					q.push(to);
				}
			}
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int x, y, z;
		scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
		s = std::min(s, x - 1);
		t = std::max(t, y);
		add(x - 1, y, z);
	}
	for (int i = s + 1; i <= t; i++) {
		add(i, i - 1, -1);
		add(i - 1, i, 0);
	}
	spfa();
	printf("%d", d[t]);
}