【状压dp】JZOJ_5230 队伍统计

最新推荐文章于 2021-11-16 19:42:11 发布

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#动态规划 #状态压缩

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本文介绍了一种使用状态压缩动态规划解决特定排列问题的方法，该问题涉及在考虑到一系列矛盾关系约束下，寻找所有可能的排列组合，同时不超过允许违背的矛盾关系数量。通过预处理违背条件并利用__builtin_popcount()函数，算法将时间复杂度降低到O(2^nkn)，适用于小范围的n值。

题意

现在有 $n$ 个人要排成一列，编号为 $1∼n1\sim n$ 。
有 $m$ 条矛盾关系 $(u, v)$ ,表示编号为 $u$ 的人想要排在编号为 $v$ 的人前面。
要使得队伍和谐，最多不能违背 $k$ 条矛盾关系（即不能有超过 $k$ 条矛盾关系 $(u, v)$ ，满足最后 $v$ 排在了 $u$ 前面）。问有多少合法的排列。答案对 $1 e 9 + 7$ 取模。

思路

$n$ 的范围很小，最大才有 $20$ ，考虑状态压缩 $d p$ 。

设 $f [S] [i]$ 为当前选了的人集合为 $S$ ，已经违背了 $i$ 条关系。

如果我们暴力转移，那么时间复杂度为 $O(2^nn^2k)$

由于关系是没有重复的，我们可以预处理一下违背的转移条件，设 $b e h i n d [i]$ 为原来应该站在 $i$ 后面的人，在转移时计算出 $Sbehind[i]\ \&\ S$ 中 $1$ 的个数，代表有这么多本来应站在后面的人站在前面了。

时间复杂度降成 $O(2^nkn)$ 。

代码

#include<cstdio>

const int P = 1e9 + 7;
int n, m, k;
int f[1048576][21], behind[21];

int main() {
	scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
	for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
		scanf("%d %d", &u, &v);
		behind[u] |= 1 << v - 1;
	}
	int t = 1 << n;
	f[0][0] = 1;
	for (int i = 0; i < t; i++)
		for (int s = 0; s <= k; s++)
			if (f[i][s])
				for (int j = 1; j <= n; j++) {
					if (i & 1 << j - 1) continue;
					int need = __builtin_popcount(behind[j] & i);//自带函数计算1的个数，最好手打
					if (need + s > k) continue;
					f[i | 1 << j - 1][s + need] = (f[i | 1 << j - 1][s + need] + f[i][s]) % P;
				}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= k; i++)
		ans = (ans + f[(1 << n) - 1][i]) % P;
	printf("%d", ans);
}