【动态规划】POJ_3666 Making the Grade

最新推荐文章于 2023-02-03 13:39:39 发布

nymph181

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定序列构造问题的方法。针对给定的序列，通过动态规划算法构造另一个非严格单调序列，并使两序列间的绝对差之和最小。文章详细解释了动态转移方程和优化技巧，如离散化处理和减少状态空间。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给定长度为 $N$ 的序列 $A$ ，构造一个长度为 $N$ 的序列 $B$ ，满足：
1、 $B$ 非严格单调。
2、最小化 $\sum_{i=1}^{N}|A_i-B_j|$ 。

思路

动态规划。
设 $f[i][j]$ 为前i个数已经构造好了，其中 $B_i$ =j时，S的最小值，我们可以得到动态转移方程：
$f[i][j]=min\{f[i-1][k]+|A_i-j|\}(0 \leq k\leq j)$
但是枚举j的话会很慢，因为 $B$ 中的数值都在 $A$ 中出现过我们可以把 $A$ 中的数进行离散化，然后就可以把第二维 $j$ 的复杂度降到 $O(N)$ 。
还有每次枚举 $j$ 的时候 $k$ 只会增加 $1,min\{f[i-1][k]\}$ 的决策集合就是每次多一个，与 $LCIS$ 的方法相似。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[2001],b[2001],f[2001][2001],val,ans=2147483647;
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i];
    }
    sort(b+1,b+n+1);//离散
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        val=2147483647;
        for (int j=1;j<=n;j++){
            val=min(val,f[i-1][j]);//决策集合只增加1，我们可以枚举j的时候更新min{f[i-1][k]}
            f[i][j]=val+abs(a[i]-b[j]);//转移
            if (i==n) ans=min(f[n][j],ans);//更新答案
        }
    }
    printf("%d",ans);
}