第4讲李群与李代数-部分习题解答_群论李代数课后题-优快云博客

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本文详细探讨并证明了SO(3)上的伴随性质，包括矩阵乘法的结合律性质以及指数映射下的伴随性质，对于理解旋转群SO(3)的性质及其在机器人学和计算机视觉中的应用具有重要意义。

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5.证明：

$Rp^{\wedge }R^{T} = (Rp)^{\wedge}.$
证明：
$\Rightarrow (Rp)^{\wedge}n = (Rp) \times (RR^{-1}n) = R [ p \times (R ^{-1} n) ] = Rp ^ {\wedge}R^{\top}n$
$\Rightarrow Rp^{\wedge}R^{\top} = (Rp)^{\wedge}$
证明过程如下，纯属个人理解，仅供参考交流。
在这里插入图片描述
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6.1 证明

$Rexp(p^{\wedge})R^{T}=exp((Rp)^{\wedge})$
该式称为SO(3) 上的伴随性质。

证明：

$Rexp(p^{\wedge})R^{T}=R\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{p}^{\wedge n}}{n!}R^{T}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(R {p}^{\wedge} R^{T}) ^{n}}{n!}=exp(R{p}^{\wedge}R^{T})=exp({(Rp)^{\wedge}})$

6.2 证明

$\mathbf{T}\exp(\bm{\xi}^\land)\mathbf{T}^{-1} = \exp((Ad(\mathbf{T})\bm{\xi})^\land)$
其中：
$Ad(\textbf{T}) = \begin{bmatrix} \textbf{R} & \bm{t}^\land \textbf{R} \\ 0 & \textbf{R} \end{bmatrix}$

证明：

设 $ξ=[ρϕ]\bm{\xi}=\begin{bmatrix}\bm{\rho} \\ \bm{\phi} \end{bmatrix}$ ， $T=[Rt0⊤1]\textbf{T}=\begin{bmatrix}\textbf{R} & \bm{t} \\ \textbf{0}^\top &1 \end{bmatrix}$ ，则：

$\begin{aligned} \textbf{T}\exp(\bm{\xi}^\land)\textbf{T}^{-1} &= \textbf{T} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\bm{\xi}^\land)^n\textbf{T}^{-1} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}(\textbf{T}\bm{\xi}^\land\textbf{T}^{-1})^n} \\ &= \exp{(\textbf{T}\bm{\xi}^\land\textbf{T}^{-1})}\\ &=\exp({\begin{bmatrix} \textbf{R}\bm{\phi}^\land\textbf{R}^\top & -\textbf{R}\bm{\phi}^\land\textbf{R}^\top\bm{t} + \textbf{R}\bm{\rho} \\ \textbf{0}^\top &0 \end{bmatrix}} )\\ &= \exp(\begin{bmatrix} (\textbf{R}\bm{\phi})^\land & -(\textbf{R}\bm{\phi})^\land\bm{t} + \textbf{R}\bm{\rho} \\ \textbf{0}^\top &0 \end{bmatrix}) \\ &= \exp(\begin{bmatrix} -(\textbf{R}\bm{\phi})^\land\bm{t} + \textbf{R} \bm{\rho} \\ \textbf{R}\bm{\phi} \end{bmatrix} ^\land) \\ &=\exp((\begin{bmatrix} \textbf{R} & \bm{t}^\land \textbf{R} \\ 0 & \textbf{R} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bm{\rho} \\ \bm{\phi} \end{bmatrix})^\land) \\ &= \exp((Ad(\textbf{T})\bm{\xi})^\land) \end{aligned}$