图论练习题

图论练习题

$\ast 一个连通的无向图G,如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条(B)$
$$A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路$$

$\ast 设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是(D)$
$$\begin{gathered} A.10B.12C.16D.14 \\ D：点+面-线=2，线=11+5-2 \end{gathered}$$

$\ast 在一棵根树中，仅有一个结点的入度为(0)，称为树根，其余结点的入度均为(1)$
$$根树的定义$$

$\ast 图的邻接矩阵为A,试求长度为2的路的总数和回路总数$
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$
$$\begin{gathered} A^2=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 2& 1& 1& 1\\ 2& 1& 2& 1\\ 1& 0& 1& 1\end{array}\right],\sum a_{i,j}=18,\sum a_{i,i}=6 \\ 长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6 \end{gathered}$$

$\ast 设T是非平凡的无向树，T中度数最大的顶点有2个，它们的度数为k(k\ge 2)，证明T中至少有2k-2片树叶。$
$$\begin{gathered} 设T中有x片树叶，y个分支点。 \\ 于是T中有x+y个顶点，x+y-1条边 \\ 由握手定理知T中所有顶点个的度数之和\sum _{i=1}^{x+y}d(v_i)=2(x+y-1) \\ 又因为树叶的度为1，任何一个分支节点的度大于等于2,且度最大的节点必是分支节点 \\ 于是：\sum _{i=1}^{x+y}d(v_i)\ge x\ast 1+2(y-2)+k+k\Rightarrow x\ge 2k-2 \end{gathered}$$

$\ast 一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?$
$$\begin{gathered} \forall v_i,v_j\in G,d(v_i)+d(v_j)\ge 20, \\ 于是G中存在H回路，所以可以把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人 \end{gathered}$$

$\ast 已知简单图G有10条边，4个结点度数为3，其余结点度数为2，则该图G有（）个度数为2的结点。$
$$答案：已知结点度数之和为边的2倍，图G有10条边，则图G的结点度数之和为20，所以度数为2的结点数为（20-4\ast 3）/2=4。$$
$$\begin{gathered} \ast 一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4， \\ 其它结点度数为1，问它有几个度数为1的结点 \end{gathered}$$
$$答案：对于树来说，非常重要的特点是结点数和边数之间的关系，即V=e+1；对于所有图来说，都满足所有结点度数之和等于边的2倍，因此，对于该题，设度数为1的结点有x个，则共有结点V=2+1+3+x；则边数为e=V-1=5+x；度数之和为2\ast 2+1\ast 3+3\ast 4+x\ast 1=19+x；因为所有结点度数之和等于边的2倍，即19+x=2\ast （5+x）则x=9；即度数为1的结点共有9个$$

$\ast 10个节点构造最有三叉树：$
$$\begin{gathered} 答案：根据定理：设有完全m叉树,其树叶数为t,分枝点数为i,则(m-1)i=t-1 \\ 如果是完全3叉树，则（3-1）i=t-1； \\ t将为奇数，所给题目中带权结点个数为偶数，形成的3叉树不是完全三叉树，为了便于处理，补一个权值为0的结点 \end{gathered}$$