集合的基数

$1.集合的基数$
$$|A|将集合中元素的个数推广到无穷集合称为集合的基数（势/浓度）$$
$2.两个集合对等（等势，等浓）---bernstein定理(康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理):$
$$两个集合之间存在一一映射,两个集合基数相同|A=|B|$$

$3.容易验证集合的对等关系是一个等价关系$
$$\begin{gathered} 我们可以用对等关系重新来刻画什么是集合的基数: \\ 集合按照对等关系分成等价类，每个等价类的共同的数量特征，称为该等价类中集合的基数。 \end{gathered}$$
$4.可数(可与自然数对应的)集合的基数$
$$\begin{gathered} 可数有限集合的基数记为元素个数n,自然数集合（可数无限）的基数记为\aleph ₀阿列夫零 \\ 可数集合的子集/并集仍是可数集合 \\ 可数无穷多个可数集合的并集仍是可数集合(柯西乘法那个排列) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 可数集合A,B的笛卡儿积也是可数集(有限个是需要对n进行归纳证明，可数无穷多个不可数) \\ 有理数集是可数集合:任何一个有理数都能写成分数 \end{gathered}$$

$5.不可数集与康托尔著名的对角线证明$
$$\begin{gathered} 可数集合之外的称为不可数集合，比如实数区间(0,1)，实数集的基数记为c \\ 0.a_{1,1}{a}_{1,2}{a}_{1,3}\dots (a_{i,j}表示第i个数的第j位) \\ 思考是否有实数不在以上的范围内 \\ 数字0.f(a_{1,1})f(a_{2,2})f(a_{3,3})f(a_{4,4})\dots \dots ,f(a_{k,k})=\{\begin{array}{ll}1& a_{k,k}\ne 1\\ 2& a_{k,k}=1\end{array} \end{gathered}$$
$6.集合A中的元素不能与A的所有子集建立一一映射关系$
有 限 的 n 个 元 素 显 然 有 2 n 个 元 素 证 明 ： 假 设 映 射 关 系 为 f , B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ f ( x ) } 对 于 A = { 0 , 1 , 2 } 则 B = { } 于 是 存 在 唯 一 的 一 个 元 素 b ∈ A , 使 得 f ( b ) = B ， 若 b ∈ B , 由 定 义 知 b ∉ f ( b ) = B ， 即 b ∉ B , 矛 盾 若 b ∉ B , 因 为 f ( b ) = B , 所 以 b ∈ B , 矛 盾 有限的n个元素显然有2^n个元素\\ 证明：假设映射关系为f,B=\{x|x\in A且x\notin f(x)\}\\ 对于A=\{0,1,2\}则B=\{\}\\ 于是存在唯一的一个元素b\in A,使得f(b)=B，\\ 若b\in B,由定义知b\notin f(b)= B，即b\notin B,矛盾\\ 若b\notin B,因为f(b)=B,所以b\in B,矛盾\\ 有限的n个元素显然有2n个元素证明：假设映射关系为f,B={x∣x∈A且x∈/​f(x)}对于A={0,1,2}则B={}于是存在唯一的一个元素b∈A,使得f(b)=B，若b∈B,由定义知b∈/​f(b)=B，即b∈/​B,矛盾若b∈/​B,因为f(b)=B,所以b∈B,矛盾

---

$连续统问题$
$$\begin{gathered} 有基数的大小排列：0，1，2，\dots ，n,\dots \aleph ₀，{\aleph }_1,{\aleph }_2,\dots ，那么c处在什么位置？ \\ 现在已经证明：证明连续统假设成立是不肯能的，证明连续统假设不成立也是不可能的 \end{gathered}$$

---

拓展链接：
贝特朗悖论：

贝特朗悖论

【在0到1之间按照均匀分布独立同分布地取两个实数x,y，发现y=x^2，那么x>1/2的概率是多少？】David KZ：… https://www.zhihu.com/question/435425890/answer/1639427885?utm_source=qq&utm_medium=social （分享自知乎网）