点支配集，点覆盖集，点独立集+边覆盖集，边独立集(匹配)笔记

1.点支配集：即 V 中的顶点要么是 V集合中的元素、要么与 V中的一个顶点相邻。

通信例子：要在几个城市之间建立通讯基站，直接相连代表能覆盖信号，最少需要在几个城市建基站？

$$点支配集的定义：图G的点支配集V^{\ast }:\forall v\in (V-V^{\ast }),\exists v^{\ast }\in V^{\ast }(v^{\ast },v)\in E$$

2.点覆盖集：点“覆盖”边，（点直接连接某个边）通俗地讲，所谓点覆盖集 V*，就是 G 中所有的边至少有一个顶点属于 V*。

3.点独立集：点集的子集中任何两个定点均不直接相邻

$$图画错了：当然最小描述覆盖，最大描述独立$$

关系

G 的极大点独立集都是 G 的极小支配集。逆命题不成立（即，极小支配集未必是极大独立集）。

一个独立集是极大独立集，当且仅当它是一个支配集

设无向图 G(V, E)中无孤立顶点，顶点集合 V⊆V，则 V是 G 的点覆盖，当且仅当 V–V*是 G 的点独立集。

$极小支配集未必是极大独立集：如：米$

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求解

极小点支配集的求解：每个顶点与它的所有邻接顶点进行加法运算组成一个因子项，所有因子项再连乘。

每个顶点的所有邻接顶点进行积运算后再与该顶点进行和运算，组成一个因子项；所有因子项再连乘，并根据逻辑运算规律展开成积之和的形式。在运算完毕得到的结果中，每个乘积项代表一个极小覆盖集，其中最小者为最小覆盖集。

无向连通图 G 的极小点覆盖集与极大点独立集存在互补性，求出极小点覆盖集和点覆盖数后，就可以求出极大点独立集和点独立数。由此得极大点独立集。

$$+是或，乘是且，交换律，结合律，分配律都与数字一样，且有，吸收律vi+vi=vi；vivi=vi；vi+vivj=vi。$$

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$$分割线$$

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边覆盖集：边覆盖点，几条边可“覆盖”所有定点

边独立集(匹配)：任何两条边都没有公共顶点。

$$\begin{gathered} 对于一个给定的匹配M,若边(u,v)\in M，则称顶点u与v被M所匹配。u,v为M的盖点, \\ 不与匹配M中边相关联的顶点称为未盖点。 \end{gathered}$$

边覆盖和匹配之间的关系

$$点覆盖和点独立之间关系“密切”，那么边覆盖和边独立(匹配)之间呢？$$

设无向图 G 的顶点个数为 n，且 G 中无孤立点:

$$\begin{gathered} \ast 最大匹配和最小变覆盖之间的转化： \\ 设M为G的一个最大匹配，对于G中M的每个未盖点v，选取一条与v关联的边所组成的边的集合为N，则W=M\cup N为G中的最小边覆盖； \\ 设W1为G的最小边覆盖，若G中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配； \end{gathered}$$
$$\ast G满足：边覆盖数+边独立数=n顶点个数$$

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匹配问题：

求一般的最大匹配的问题

交错轨（对于一个匹配M，路径上交错出现属于M或不属于M的边）

可增广轨：对于一个给定匹配 M，两个端点都是未盖点的交错轨(特别地，如果两个未盖点之间仅含一条边，那么单单这条边也组成一条可增广轨)

可增广轨的含义(即匹配 M 扩充了):对于某个可增广轨 P，把 P 中原来属M去掉，而把 P 中原来不属于 M 的边加到新匹配 中去，变化后的匹配 恰好比原匹配 M 多一条边。

定理： M 为 G 的最大匹配，当且仅当 G 不存在关于 M 的可增广轨。
因此，求最大匹配的一个可行方法为：给定一个初始匹配 M（如果没有给定，则 M＝Ø），如果图 G 没有未盖点，则肯定不会有可增广轨了，即 M 就是最大匹配；
否则对图 G 的所有未盖点 vi，通过一定的方法搜索以 vi为端点的
可增广轨，从而通过可增广轨逐渐把 M 扩大。（在扩大 M 的过程当中，某些未盖点会逐渐被 M 盖住）

二部图得最大匹配的求法：

1. 网络流解法
2. 匈牙利算法
3. Hopcroft-Karp 算法

完美匹配：对于一个图 G 与给定的一个匹配 M，如果图 G 中不存在 M 的未盖点，则称匹配M 为图 G 的完美匹配。

二部图的完备匹配：设无向图 G(V, E)为二部图，“覆盖” 少数点集合得匹配称为完备匹配。若两点集元素数相等，则该完备匹配也是完美匹配。

二部图的最佳匹配：对边赋予权值，权值和最大得完备匹配