边覆盖、边独立集

【边覆盖】

所谓边覆盖集E*，就是G中所有的顶点都是E*中某条边的邻接顶点（边覆盖顶点）

极小边覆盖：若边覆盖E*的任何真子集都不是边覆盖，则称E*是极小边覆盖。

最小边覆盖：边数最少的边覆盖集称为最小边覆盖。

边覆盖数：最小的边覆盖所含的边数称为边覆盖数。

【边独立】

边独立集：设无向图为G（V,E），边的集合E*属于E，若E中任何两条边均不相邻，则称E*为G的边独立集，也称E*为G的匹配。所谓任何两条边均不相邻，通俗的讲，就是任何两条边都没有公共顶点。

极大匹配：若在E*中加入任意一条边所得到的集合都不匹配，则称E*为极大匹配。

最大匹配：边数最多的匹配称为最大匹配。

边独立数：最大匹配的边数称为边独立数或匹配数。

【盖点与未盖点】

设v是图G的一个顶点，如果v与M中的某条边关联，则称v为M的盖点。如果v不与任意一条属于匹配M的边相关联，则称v是匹配M的未盖点。

【最大边独立集(最大匹配)与最小边覆盖集之间的联系】

（1）从最大匹配出发，通过增加关联未盖点的边获得最小边覆盖。

（2）从最小边覆盖出发，通过移除相邻的一条边获得最大匹配。

【定理】设无向图G的顶点个数为n，且G中无孤立点

（1）设M为G的一个最大匹配，对于G中M的每个未盖点v，选取一条与v关联的边所组成的边的集合为N，则W= M∪N为G中的最小边覆盖。

（2）折W1为G的最小边覆盖，若G中存在相邻的边就移除其中的一条，设移除的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配。

（3）G中边覆盖数α1(G)与匹配数β1(G)，满足α1(G)+β1(G) = n。

【二分图最小点权覆盖】

从x或者y集合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。

建模：

    原二分图中的边(u,v)替换为容量为INF的有向边(u,v)，设立源点s和汇点t，将s和x集合中的点相连，容量为该点的权值；将y中的点同t相连，容量为该点的权值。在新图上求最大流，最大流量即为最小点权覆盖的权值和。

【二分图最大点权独立集】

 在二分图中找到权值和最大的点集，使得它们之间两两没有边。其实它是最小点权覆盖的对偶问题。答案=总权值-最小点覆盖集。具体证明参考胡波涛的论文。

1. 最大点权独立集： 
2. 转化为最小点权覆盖问题，最大点权独立集=总权值-最小点权覆盖集 
3. 最小点权覆盖： 
4. 设立源点s和t，s连边到点i，容量为i点的权值；点j连边到t，容量为j点权值；原二分图中的边容量为INF，求最大流即为最小点权覆盖。