高斯分布 正态分布的推导

本文通过二重积分的换元法,详细解析了如何从标准正态分布的密度函数出发,推导出积分常数π,并进一步推广到高斯分布的尺度参数变化,得出关于平均值μ和方差σ²的积分表达式。

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高斯分布可从二重积分换元法得一个结果开始推导:

∫−∞∞e−x2dx=π的推导\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } 的推导ex2dx=π

∬e−x2e−y2dxdy=∬e−(x2+y2)dxdy⟶dxdy=rdθdr∫02πdθ∫0+∞12e−r2dr2\iint e^{-x^2}e^{-y^2}dxdy=\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy \stackrel{dxdy=rdθdr}{\longrightarrow} \int_0^{2\pi}dθ\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2 ex2ey2dxdy=e(x2+y2)dxdydxdy=rdθdr02πdθ0+21er2dr2


∫−∞∞e−x2dx=π\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } ex2dx=π
对x做一个线性变换

∫−∞+∞e−(x)22σ2=2πσ\int _ { - \infty } ^ { +\infty } e^{- \frac { (x ) ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}= \sqrt { 2 \pi } σ +e2σ2x2=2πσ

∫−∞+∞12πσe−(x)22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { (x ) ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1+2πσ1e2σ2x2=1

∫−∞+∞12πσe−(x−μ)22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { (x - μ) ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1+2πσ1e2σ2xμ2=1

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