高斯分布 正态分布的推导

本文通过二重积分的换元法,详细解析了如何从标准正态分布的密度函数出发,推导出积分常数π,并进一步推广到高斯分布的尺度参数变化,得出关于平均值μ和方差σ²的积分表达式。

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高斯分布可从二重积分换元法得一个结果开始推导:

∫−∞∞e−x2dx=π的推导\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } 的推导ex2dx=π

∬e−x2e−y2dxdy=∬e−(x2+y2)dxdy⟶dxdy=rdθdr∫02πdθ∫0+∞12e−r2dr2\iint e^{-x^2}e^{-y^2}dxdy=\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy \stackrel{dxdy=rdθdr}{\longrightarrow} \int_0^{2\pi}dθ\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2 ex2ey2dxdy=e(x2+y2)dxdydxdy=rdθdr02πdθ0+21er2dr2


∫−∞∞e−x2dx=π\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } ex2dx=π
对x做一个线性变换

∫−∞+∞e−(x)22σ2=2πσ\int _ { - \infty } ^ { +\infty } e^{- \frac { (x ) ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}= \sqrt { 2 \pi } σ +e2σ2x2=2πσ

∫−∞+∞12πσe−(x)22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { (x ) ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1+2πσ1e2σ2x2=1

∫−∞+∞12πσe−(x−μ)22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { (x - μ) ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1+2πσ1e2σ2xμ2=1

<think>好的,用户想了解高斯分布和标准正态分布之间的区别和联系。首先,我需要回顾一下自己对这些概念的理解,并参考提供的引用资料来确保准确性。 根据引用[1],高斯分布又叫正态分布,是统计学中最重要的连续概率分布,常见于身高、体重等自然现象。而引用[2]和[3]提到标准正态分布正态分布的一个特例,均值为0,标准差为1。引用[4]则讲述了高斯在误差分析中推导正态分布的历史背景。 接下来,我需要组织信息,明确两者的区别和联系。区别主要在参数、转换方法、应用场景等方面。联系则是标准正态分布属于高斯分布的一种,且可以通过标准化转换得到。需要确保使用正确的数学表达式,比如参数形式、标准化公式等,并用$...$和$$...$$格式标注。 用户可能对如何转换或实际应用例子感兴趣,所以需要举例子说明,比如考试分数转换Z分数。同时,要检查引用是否正确,比如在提到参数和转换公式时引用对应的资料。最后,生成的相关问题需要围绕应用、转换方法、历史背景等,帮助用户深入理解。</think>### 高斯分布与标准正态分布的区别及联系 #### 1. **核心区别** - **参数定义** - **高斯分布**:由均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 共同定义,记为 $N(\mu, \sigma^2)$。例如,身高分布可能为 $N(170, 5^2)$[^1][^3]。 - **标准正态分布**:是 $\mu=0$ 且 $\sigma=1$ 的特殊高斯分布,记为 $N(0, 1)$[^2][^3]。 - **应用场景** - **高斯分布**:描述具体场景下的数据分布(如某地区收入 $N(5000, 1000^2)$)。 - **标准正态分布**:用于标准化比较不同数据集(如将考试分数转换为Z分数)[^2]。 - **概率密度函数对比** 高斯分布: $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$ 标准正态分布(简化形式): $$ \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} $$ 其中 $z = \frac{x-\mu}{\sigma}$[^2][^3]。 #### 2. **核心联系** - **标准化转换** 任何高斯分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 可通过 **Z分数公式** 转换为标准正态分布: $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$ 例如,若考试分数 $X \sim N(75, 10^2)$,则 $Z = \frac{X-75}{10}$ 服从 $N(0, 1)$[^2][^3]。 - **统计性质一致性** 两者均满足对称性、钟形曲线特征,且遵循68-95-99.7法则(数据分布在均值±1σ、±2σ、±3σ内的概率)[^2]。 #### 3. **实际应用示例** - **高斯分布**:预测某工厂零件尺寸的合格率,假设尺寸服从 $N(10\text{mm}, 0.1^2)$,可计算尺寸在9.8–10.2mm内的概率。 - **标准正态分布**:比较学生A(数学Z=1.5)与学生B(物理Z=1.2)的成绩相对水平[^2]。 ---
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