本文通过二重积分的换元法，详细解析了如何从标准正态分布的密度函数出发，推导出积分常数π，并进一步推广到高斯分布的尺度参数变化，得出关于平均值μ和方差σ²的积分表达式。
高斯分布可从二重积分换元法得一个结果开始推导：
∫−∞∞e−x2dx=π的推导\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } 的推导∫−∞∞e−x2dx=π的推导
∬e−x2e−y2dxdy=∬e−(x2+y2)dxdy⟶dxdy=rdθdr∫02πdθ∫0+∞12e−r2dr2\iint e^{-x^2}e^{-y^2}dxdy=\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy \stackrel{dxdy=rdθdr}{\longrightarrow} \int_0^{2\pi}dθ\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2 ∬e−x2e−y2dxdy=∬e−(x2+y2)dxdy⟶dxdy=rdθdr∫02πdθ∫0+∞21e−r2dr2
则
∫−∞∞e−x2dx=π\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } ∫−∞∞e−x2dx=π
对x做一个线性变换
∫−∞+∞e−（x）22σ2=2πσ\int _ { - \infty } ^ { +\infty } e^{- \frac { （x ） ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}= \sqrt { 2 \pi } σ ∫−∞+∞e−2σ2（x）2=2πσ
∫−∞+∞12πσe−（x）22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { （x ） ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1∫−∞+∞2πσ1e−2σ2（x）2=1
∫−∞+∞12πσe−（x−μ）22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { （x - μ） ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1∫−∞+∞2πσ1e−2σ2（x−μ）2=1
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