高斯分布正态分布的推导

FakeOccupational

于 2020-12-08 10:34:49 发布

阅读量1.6k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：概率论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ResumeProject/article/details/110147660

概率论专栏收录该内容

24 篇文章

订阅专栏

本文通过二重积分的换元法，详细解析了如何从标准正态分布的密度函数出发，推导出积分常数π，并进一步推广到高斯分布的尺度参数变化，得出关于平均值μ和方差σ²的积分表达式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

高斯分布可从二重积分换元法得一个结果开始推导：

$∫−∞∞e−x2dx=π的推导\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } 的推导$

$∬e−x2e−y2dxdy=∬e−(x2+y2)dxdy⟶dxdy=rdθdr∫02πdθ∫0+∞12e−r2dr2\iint e^{-x^2}e^{-y^2}dxdy=\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy \stackrel{dxdy=rdθdr}{\longrightarrow} \int_0^{2\pi}dθ\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2}e^{-r^2}dr^2$

则

$∫−∞∞e−x2dx=π\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi }$
对x做一个线性变换

$∫−∞+∞e−（x）22σ2=2πσ\int _ { - \infty } ^ { +\infty } e^{- \frac { （x ） ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}= \sqrt { 2 \pi } σ$

$∫−∞+∞12πσe−（x）22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { （x ） ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1$

$∫−∞+∞12πσe−（x−μ）22σ2=1\int _ { - \infty } ^ { +\infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } σ }e^{- \frac { （x - μ） ^ { 2 } } { 2 σ ^ { 2 } }}=1$

高斯分布 正态分布的推导

高斯分布可从二重积分换元法得一个结果开始推导：

∫−∞∞e−x2dx=π的推导\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } 的推导∫−∞∞​e−x2dx=π​的推导

高斯分布正态分布的推导

$∫−∞∞e−x2dx=π的推导\int _ { - \infty } ^ { \infty }e^{-x^2} dx= \sqrt { \pi } 的推导$