积分极限定理+勒贝格控制收敛定理+高数

在处理积分与极限的交换顺序问题上，勒贝格积分比黎曼积分要求的条件要弱的多（并且条件更易于验证）

积分与极限交换顺序的定理：

控制收敛定理

1. {fn(x)}为E上的一列可测函数\{ f_n(x)\}为E上的一列可测函数{fn​(x)}为E上的一列可测函数
2. $$\begin{gathered} F(x)为E上的可积函数，且|f_n(x)|\le F(x)a.e.于E（在E上almost.every.成立）， \\ N=1,2\dots \dots \end{gathered}$$
3. $$f_n(x)依测度收敛到f(x)$$
   $$则f(x)在E上可积，并且\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_{E}f(x)dx$$

推论：有界收敛定理

(也就是

除了在E的一个测度任意小的子集上 (a.e.),函数列f(x)一致收敛于f(x)

{意思是对Ve>0,存在一个正整数N使得(f(x)-f(x)1<ε对一切x和一切k≥N成立。直观地讲，如果将f(x)放入围绕它的 ε-通道内，则f(x)最终也会落入通道中。}

)

$$f_n一致有界(|f_n(x)|\le M)，则极限和积分可以换序$$

积分极限定理的应用：
$$\begin{gathered} 设f(x)在[0,1]上连续，则\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx=? \\ 积分和极限交换顺序x^n的极限在[0,1)为0 \\ 所以上式=0（还可利用夹逼定理证明： \\ 0\le |{\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx|\le {\int }_0^1{x}^n|f(x)|dx\le M{\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{M}{n+1}\to 0） \end{gathered}$$

(

除了在E的一个测度任意小的子集上 (a.e.),函数列f(x)一致收敛于f(x)

{意思是对Ve>0,存在一个正整数N使得(f(x)-f(x)1<ε对一切x和一切k≥N成立。直观地讲，如果将f(x)放入围绕它的 ε-通道内，则f(x)最终也会落入通道中。}

)