实变函数(4)--Lebesgue积分

1.非负简单函数的积分

1.对于可测集$E\subset R^n$上的非负简单函数$\phi$,若其标准表达式为$$\phi (x)=\sum _{i=1}^k{c}_i{\chi }_{E_i}(x),(x\in E=\bigcup _{i=1}^k{E}_i)$$
其中$C_i$为非负实数,$E_i$为可测集,当$i̸=j$时有$E_i\cap E_j=\varnothing$,称广义实数$$\sum _{i=1}^k{c}_{i}m{E}_i$$(注意$m{E}_i=\infty$时,适用关于$\infty$的运算约定)为$\phi$在$E$上的Lebesgue积分,记为$(L){\int }_E\phi (x)dx$.

2.非负简单函数积分的性质

1.$0\le {\int }_E\phi (x)dx\le \infty$.
2.${\int }_{E}c\phi (x)dx=c{\int }_E\phi (x)dx(c为非负实数)$.
3.${\int }_E(\phi (x)+\psi (x))dx={\int }_E\phi (x)dx+{\int }_E\psi (x)dx$.
4.若$E=A\cup B,A\cap B=\varnothing ,A,B\in M$ ,则$${\int }_E\phi (x)dx={\int }_A\phi (x)dx+{\int }_B\phi (x)dx$$
5.若$\phi (x)\le \psi (x)(x\in E)$,则$${\int }_E\phi (x)dx\le {\int }_E\psi (x)dx$$.

3.非负可测函数的积分

1.设$f$是可测集$E\subset R^n$上的非负可测函数,{${\phi }_k$}是收敛于$f$的非负简单函数的(对$k$的)递增列,即每个${\phi }_k$是$E$上的简单函数,且$$0\le {\phi }_1(x)\le {\phi }_2(x)\le ...\le {\phi }_k(x)\le {\phi }_{k+1}(x)\le ...(\le f(x)),$$$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\phi }_k(x)=f(x),(x\in E),$$则称极限$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_{E}f(x)dx$$(有限实数或$+\infty$)为函数$f$在$E$上的Lebesgue积分,记为${\int }_{E}f(x)dx$(或在积分号前加$(L)$).
2.设$\phi$和所有${\psi }_k(k=1,2,....)$都是可测集$E\subset R^n$上的非负简单函数,并且当$x\in E$时,$${\psi }_k(x)\le {\psi }_{k+1}(k=1,2,...),$$且$$\phi (x)\le \underset{k\to \infty }{\lim }{\psi }_k(x),$$则有$${\int }_E\phi (x)dx\le \underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_E{\psi }_k(x)dx$$

4.非负可测函数积分的性质

1.$0\le {\int }_{E}f(x)dx\le \infty$.
2.${\int }_{E}cf(x)dx=c{\int }_{E}f(x)dx(c为非负实数)$.
3.${\int }_E(f(x)+g(x))dx={\int }_{E}f(x)dx+{\int }_{E}g(x)dx$.
4.若$E=E_1\cup E_2,E_1\cap E_2=\varnothing ,E_1,E_2可测$ ,则$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_{E_1}f(x)dx+{\int }_{E_2}f(x)dx$$
5.若$0\le f(x)\le g(x)(x\in E)$,则$${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx$$.

5.切比雪夫不等式

1.若$0\le A\le f(x)\le B,(x\in E,A,B为常数)$,则$$AmE\le {\int }_{E}f(x)\le BmE$$
2.若$a$为正的常数,则$$mE(f\ge a)\le 1/a{\int }_{E}f(x)dx$$此式通常称为切比雪夫不等式.

6.${\int }_{E}fdx$=0的充分必要条件

1.${\int }_{E}f(x)dx$=0的充分必要条件是$f(x)$在E上几乎处处等于0,即$f$~0与$E$.
2.若${\int }_{E}f(x)dx\le \infty$,则$f(x)$在E上几乎处处有限.

7.$f\in L(E)$的充分必要条件

1.设$f(x)$是在$E$上几乎处处有限的非负可测函数,$m(E)<+\infty$,对$[0,+\infty )$作如下分法:$$0=y_0<y_1<y_2<...y_k<y_{k+1}<...,$$其中$y_{k+1}-y_k<\delta (k=0,1...)$.令Ek={x∈E∣yk≤f(x)&lt;yk+1},E_k=\lbrace x\in E |y_k\leq f(x)&lt;y_{k+1}\rbrace,Ek​={x∈E∣yk​≤f(x)<yk+1​},则$f\in L(E)$(积分值为有限)的充分必要条件是$$\sum _{k=0}^{\infty }{y}_{k}m(E_k)<+\infty$$,并且$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{\delta \to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^{\infty }{y}_{k}m(E_k)$$

8.一般可测函数的积分

1.设$f$是定义于$E\subset R^n$上的可测函数,若$f$的正部$f^{+}$与负部$f^{-}$在$E$上的积分不同时为$\infty$,则定义$f$在$E$上的Lebesgue积分为$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_E{f}^{+}(x)dx-\int f^{-}(x)dx.$$若这个积分取有限值(以后简称L可积或可积).在$E$上可积函数全体(集合)记为$L(E)$,或简记为$L$.

9.可测函数可积的充要条件

1.可测函数$f$在$E\subset R^n$上可积的充分必要条件是,它的绝对值函数$|f|$在$E$上可积.

10.控制函数

1.设$f$在$E\subset R^n$上可测,若存在非负函数$F\in L(E)$,使得$|f(x)|\le F(x)$(这时称$F$为$f$的控制函数),则$f\in L(E)$.

11.可测函数积分的性质

1.若$f\in L(E)$,则$|f(x)|<\infty a.e.于E.$
2.若$f$是零测集$E$上的任意广义实值函数,则${\int }_{E}f(x)dx=0$,从而$f\in L(E)$
3.若$f$和$g$都是$E\subset R^n$上的可测函数,且$f$~$g$于E,则$f$与$g$在E上同时可积,或者同时不可积,并且在积时,他们的积分值相等.
4.若$f\in L(E),g\in L(E),a,b是常数$,则$af+bg\in L(E)$且$${\int }_E(af(x)+bg(x))dx=a{\int }_{E}f(x)dx+b{\int }_{E}g(x)xdx$$
5.若有$f\in L(E_1),f\in L(E_2),且E_1\cap E_2=\varnothing ,则f\in L(E_1\cup E_2)$且$${\int }_{E_1\cup E_2}f(x)dx={\int }_{E_1}f(x)dx+{\int }_{E_2}f(x)dx$$
6.$f\in L(E),E_0\subset E,E_0$可测,则$f\in L(E_0)$且$${\int }_{E\backslash E_0}f(x)dx={\int }_{E}f(x)dx-{\int }_{E_0}f(x)dx$$
7.设$f\in L(E),g\in L(E)$.若$f(x)\le g(x)$a.e.于$E$,则$${\int }_{E}f(x)dx\le {\int }_{E}g(x)dx$$
8.若$f\in L(E)$,则$$|{\int }_{E}f(x)dx|\le {\int }_E|f(x)|dx$$

12.积分的绝对连续性

设$f\in L(E)$,则对任意的$\epsilon >0$,存在$\delta >0$,使得对$E$的任意可测子集$E_0$,只要满足$m{E}_0<\delta$,就有${\int }_{E0}|f(x)|dx<\epsilon$.

13.列维(Levi)定理(单调收敛定理)

设{$f_k$}是E上的非负可测函数的递增列,记$$f(x)=\underset{k\to \infty }{\lim }{f}_k(x)(x\in E),$$则$${\int }_{E}f(x)dx=\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_k(x)dx.$$

14.Lebesgue逐项积分定理

设{$f_k$}是E上的非负可测函数列.令$$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k(x)(x\in E),$$则${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k(x)dx$逐项可积分,即$${\int }_{E}f(x)dx={\int }_E\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k(x)dx.$$

15.法图(Fatou)引理

设{$f_k$}是E上的非负可测函数列,则…

16.Lebesgue控制收敛定理

设{$f_k$}是$E\in R^n$上几乎处处收敛的可测函数列,${\lim }_{k\to \infty }{f}_k(x)=f(x).$若存在非负函数$F$,使得$F\in L(F)$并且$$|f_k(x)|\le F(x)(x\in E,k=1,2...)$$,则函数$f$及所有的$f_k$都在E上可积,且$$\underset{k\to \infty }{\lim }{f}_k(x)dx存在并等于{\int }_{E}f(x)dx.$$

17.有界收敛定理

若$mE<\infty$,{$f_k$}是在$E$上几乎处处收敛的可测函数列,$$\underset{k\to \infty }{\lim }{f}_k(x)=f(x)(a.e.x\in E),$$并且存在着常数$M>0$,使得$$|f_k(x)<M|(x\in E,k=1,2,....),$$则$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_k(x)dx={\int }_{E}f(x)dx.$$

18.勒贝格积分与黎曼积分的比较

1.若函数$f$在$[a,b]$上$(R)$可积,则$f\in L(a,b),并且$,$$(R){\int }_a^{b}f(x)dx=(L){\int }_a^{b}f(x)dx.$$
2.设函数$f(x)$在$[a,b]$有界,则f在$[a,b]$上$Riemann$可积的充分必要条件是,$f$在$[a,b]$上的间断点组成零测集.
3.若定义在$R$上的函数$f$在任何有限区间上有界,且它在$(-\infty ,+\infty )$上的反常$Riemann$积分绝对收敛(蕴含$f$在任何有限区间$R$可积),则$f\in L(-\infty ,+\infty )$并且$$(L){\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=(R){\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$$