线性代数：向量点乘的意义

最新推荐文章于 2025-05-30 07:38:19 发布

倪桦

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

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1、向量的点乘的意义:

解决不同方向向量间存在的方向问题，不同方向的向量直接乘运算是没有意义的。通过投影的方式，让向量间指向同一方向，向量相乘起来才有了意义。向量的点乘结果为一个标量，向量点乘亦称为向量的内积。

在二维空间中，向量的内积有： $u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥⋅(∥v⃗∥⋅cosθ)\vec {u} · \vec {v}=\|\vec {u}\|·(\|\vec {v}\|·cos\theta)$

2、向量点乘在分类上的反映

向量的点乘结果反映在分量上是向量间同属性分量的乘积的和，如 $u⃗⋅v⃗=x1⋅x2+y1⋅y2\vec {u} · \vec {v}=x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$ ，其中 $x1⋅x2x_1 \cdot x_2$ 与 $y1⋅y2y_1 \cdot y_2$ 分别是两向量 $u⃗，v⃗\vec {u} ，\vec {v}$ 在参考坐标系的基向量上的投影的乘积，当基向量互相垂直的情况下，两向量的不同属性的分量(如 $x1⋅yyx_1 \cdot y_y$ )的相乘是无意义的，分量间的夹角 $θ=90∘\theta = 90^{\circ}$ ，所以不同属分量乘积是0。

3、向量点乘的应用

主要用来计算向量间的夹角 $θ\theta$ ： $cosθ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥⋅∥v⃗∥cos\theta=\frac {\vec u \cdot \vec v} {\|\vec u\| \cdot \|\vec v\|}$

向量夹角 $θ\theta$ 可以用来衡量两个向量的相似程度(余弦相似度的应用)
[ $θ<90∘相似;θ=90∘无关;θ>90∘背离\theta < 90^\circ 相似 ; \theta = 90^\circ 无关 ; \theta > 90^\circ 背离$ ]
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