1、向量的点乘的意义:
解决不同方向向量间存在的方向问题，不同方向的向量直接乘运算是没有意义的。通过投影的方式，让向量间指向同一方向，向量相乘起来才有了意义。向量的点乘结果为一个标量，向量点乘亦称为向量的内积。
在二维空间中，向量的内积有： u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ ⋅ ( ∥ v ⃗ ∥ ⋅ c o s θ ) \vec {u} · \vec {v}=\|\vec {u}\|·(\|\vec {v}\|·cos\theta) u⋅v=∥u∥⋅(∥v∥⋅cosθ)
2、向量点乘在分类上的反映
向量的点乘结果反映在分量上是向量间同属性分量的乘积的和，如
u
⃗
⋅
v
⃗
=
x
1
⋅
x
2
+
y
1
⋅
y
2
\vec {u} · \vec {v}=x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
u⋅v=x1⋅x2+y1⋅y2，其中
x
1
⋅
x
2
x_1 \cdot x_2
x1⋅x2与
y
1
⋅
y
2
y_1 \cdot y_2
y1⋅y2分别是两向量
u
⃗
，
v
⃗
\vec {u} ，\vec {v}
u，v在参考坐标系的基向量上的投影的乘积，当基向量互相垂直的情况下，两向量的不同属性的分量(如
x
1
⋅
y
y
x_1 \cdot y_y
x1⋅yy)的相乘是无意义的，分量间的夹角
θ
=
9
0
∘
\theta = 90^{\circ}
θ=90∘，所以不同属分量乘积是0。
3、向量点乘的应用
主要用来计算向量间的夹角 θ \theta θ ： c o s θ = u ⃗ ⋅ v ⃗ ∥ u ⃗ ∥ ⋅ ∥ v ⃗ ∥ cos\theta=\frac {\vec u \cdot \vec v} {\|\vec u\| \cdot \|\vec v\|} cosθ=∥u∥⋅∥v∥u⋅v
向量夹角
θ
\theta
θ 可以用来衡量两个向量的相似程度(余弦相似度的应用)
[
θ
<
9
0
∘
相似
;
θ
=
9
0
∘
无关
;
θ
>
9
0
∘
背离
\theta < 90^\circ 相似 ; \theta = 90^\circ 无关 ; \theta > 90^\circ 背离
θ<90∘相似;θ=90∘无关;θ>90∘背离]
→
\rightarrow
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