向量点乘的含义

点乘:

代数定义:

  二维空间的两个向量 a =(x1,y1),b= (x2,y2),则它们的数量积(内积、点积)为以下实数:

            a*b=x1x2+y1y2

几何定义:

   二维空间内有两个向量a和b,它们的夹角为&(0<=&<=180),则内积定义为以下实数:

         a*b = |a||b|cos&

点乘的值:
u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下,点积如果为负,则u,v形成的角大于90度;如果为零,那么u,v垂直;如果为正,那么u,v形成的角为锐角。
两个单位向量的点积得到两个 向量夹角的cos值,通过它可以知道两个向量的相似性。在自然语言处理中,可以通过计算两篇文档向量的点积得到文档的相似性。



  

### 矢量的数学定义 矢量(Vector Dot Product),也被称为内积,是一种用于计算两个向量之间关系的操作。假设存在两个向量 \(\vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)\) 和 \(\vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)\),它们的可以表示为: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n \] 这也可以通过向量的模和夹角来表达为: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta} \] 其中 \(|\vec{A}|\) 是向量 \(\vec{A}\) 的长度,\(|\vec{B}|\) 是向量 \(\vec{B}\) 的长度,而 \(\theta\) 则是两向量之间的夹角[^1]。 ### 的应用场景 #### 图形学中的应用 在计算机图形学领域,矢量被广泛应用于光照模型的实现中。例如,在 Phong 反射模型中,为了计算光线照射到物体表面后的反射强度,通常会利用法线向量与光源方向向量结果。如果这两个向量的方向越接近,则的结果越大,表明该表面上某一接收到更多的光亮。 #### 编程中的应用 编程中,特别是在游戏开发或者科学计算里,程序员经常需要用到矢量运算来进行物理模拟、碰撞检测以及路径规划等工作。比如判断一个对象是否朝另一个目标移动时,可以通过比较速度向量与位移向量间的值正负号得出结论;当两者成锐角即大于零时表示正在靠近,钝角则相反[^2]。 ```python def vector_dot_product(vector_a, vector_b): """Calculate the dot product of two vectors.""" return sum(a * b for a, b in zip(vector_a, vector_b)) # Example Usage vector_A = [3, 4] vector_B = [1, 2] result = vector_dot_product(vector_A, vector_B) print(f"The result is {result}") ```
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