线性代数：矩阵的概念与基本运算

向量 是对数的拓展，一个向量代表的是一组数； 矩阵 是对向量的拓展，一个矩阵代表的是一组向量。
矩阵形式的4种应用: 数据记录表，系统，变换函数和空间。

当矩阵 表示对一个系统的描述，因为系统可以通过方程组描述系统内成员变量的关系，方程组构成系统的描述矩阵，通过方程式可以求解系统的最优解。

矩阵与向量的乘法中$T\cdot \vec{u}=\vec{v}$，列向量$\vec{u}$左乘矩阵$T$转换成了列向量$\vec{v}$这种形式，矩阵$T$可以理解成是列向量$\vec{u}$的转换函数，类似数字的函数形式($f(x)=y$)。

矩阵的基本运算：

• 矩阵数乘 : $k\cdot A\to$ 图形学上理解为对不同分量进行$k$倍缩放;

• 矩阵矩乘 : $T_{m\ast n}\cdot A_{n\ast k}=B_{m\ast k}\to$图形学上理解为对不同分量进行函数运算的不等倍变换。 矩阵乘法形式中，左乘矩阵$T$看作向量的处理函数，则被$T$变换的列向量构成右乘矩阵了$A$，矩乘结果是矩阵$A$的每个列向量由$T$变换后组成了矩阵$B$（如下图示）：
  

• 矩阵的幂：只有方阵才有幂，Ak={A⋅A⋅A⋯A}k,k≥1A^k = \{A \cdot A \cdot A \cdots A\}_k, k \geq 1Ak={A⋅A⋅A⋯A}k​,k≥1

• 矩阵转置：行向量与列向量的相互转换，$A=(a_{ij})\to A^T=(a_{ji})$,性质:① $(A+B{)}^T=A^T+B^T$；②$(A\cdot B{)}^T=A^T\cdot B^T$

• 旋转变换矩阵$T$
  $T = \begin{bmatrix} cos \theta & sin \theta \ -sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \rightarrow T \times P = (x^{'} , y^{'})T $