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最新推荐文章于 2019-08-12 19:07:22 发布

原创最新推荐文章于 2019-08-12 19:07:22 发布 · 624 阅读

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本文介绍了一种关于两人在数轴上按序访问点的任务分配算法，通过倒序求解及区间更新的方式，实现了高效的二分查找策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：传送门

题目大意：给定n, s1, s2和数轴上n个点{a_n}，编号1~n，要求给一开始分别在s1和s2的两个人分配任务，使得每个点按照编号顺序被恰好一个人访问，并且使得任意时刻两个人的距离的最大值最小。n<=1e5，s1, s2, ai<=1e9

题解：显然这个东西摆明了是要二分答案，然后，不难发现二分出来的答案的可行性可以用dp验证，大概就是dp[i]表示第i个点被访问是否（在这个二分答案下）可行。

这个转移显然是一段区间的或，可以用线段树维护一下，复杂度O(n(lgn)^2)，可以通过，但是代码复杂度和时间复杂度都略高。

一个很显然的想法就是贪心，直观的贪心就是正着考虑，然后各种讨论，但是大概没有什么好的思路。

现在我们用一个转化思路的技巧：我们不求从s1，s2能不能完成任务，我们求，s1，s2在什么地方能完成任务；

这样球出来之后只有判断一下s1和s2在不在范围内即可。

显然在这里s1和s2无本质区别，下文用“当前这个人”和"另一个人"来分别表示一个人和另一个人。

这显然是一个倒序求解的问题，因为只做第n个任务，当前这个人的区间是显然的，就是[a[n]-二分出来的答案, a[n]+二分出来的答案]；

而我们求得就是做1~n个任务的区间。算法流程如下（x为二分出来的答案）：

L <- a[n] - x
R <- a[n] + x
for i <- (n-1) to 1 do
	if In_Range(a[i], L, R)
		L <- a[i] - x
		R <- a[i] + x
	else
		L <- max(L, a[i] - x)
		R <- min(R, a[i] + x)
End For

return  In_Range(s1, L, R) or In_Range(s2, L, R)

这段代码的大意就是，设置初始区间[L, R]为[a[n]-x, a[n]+x]，然后i从n-1逆序枚举；

如果a[i]在当前区间[L,R]里，就把[L,R]设为以a[i]为中心x为半径的区间（下文记作a[i]的x-y区间）

否则[L, R]取为它和a[i]的x-y区间的交集。下文把[L, R]叫做当前区间，也就是当前这个人应该在的区间。

问什么是对的呢？读者可以尽量思考一下！

首先我们考虑a[i]在当前区间内的情况；假设当前这个人在编号为j的点上，显然有j>i；

那么我们证明在编号为i的人一定可以是另一个人。

假设不可以，即i也是当前这个人呆过的地方，那么假设当当前这个人在i的时候，另一个人在k；

并且不妨假设当前的人从i跳到j的时候，另一个人一直呆在k（否则你可以选择最后没有变化的那一段，情况不会改变）

显然有a[i]应当在a[k]的x-y区间内，而i最终直接跳到了j（如果不直接的话，那么假设i先到了t，那么t应该取代i的位置），

这意味着a[j]也是在a[k]的x-y区间内的，否则因为另一个人没动所以就到不了j了。

那么如果存在这种情况，我们不难发现，a[p]在a[q]的x-y区间内等价于a[q]在a[p]的x-y区间内，

因此上文等价于a[k]和a[j]在a[i]的x-y区间内，因此另一个人可以直接从a[k]跳到a[j]，也就是a[k]和a[j]可以看作是同一人，这种情况下a[i]就是另一个人

上文的证明思路就是，如果i可以是当前这个人并且有解，那么把i换成另一个人也可以保证有解。

因此，把“当前这个人”和"另一个人"互换，即把另一个人看成当前这个人，那么当前区间显然就是[a[i]-x, a[i]+x]。

下面在看else部分，即a[i]不在当前区间内的情况，那么a[i]一定不会是当前这个人。这是定义，请参照上文。

因此，a[i]就是另一个人，这意味着，当前这个人也一定要在a[i]的x-y区间内，因此两个区间取交即可。

这样最后两个人只要有一个人在算出来的区间内（即他是当前这个人），二分出来的x就是ok的。

代码实现注意一开始二分的下界应该设成abs(s1-s2)，否则会gg。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inrange(x) ((x)>=L&&(x)<=R)
#define N 100010
#define INF 1000000000
using namespace std;
int a[N],n,s1,s2;
inline bool check(int x)
{
	int L=a[n]-x,R=a[n]+x;
	for(int i=n-1;i;i--)
		if(inrange(a[i])) L=a[i]-x,R=a[i]+x;
		else L=max(L,a[i]-x),R=min(R,a[i]+x);
	return inrange(s1)||inrange(s2);
}
inline int gabs(int x)
{
	return x>0?x:-x;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&s1,&s2);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	int L=gabs(s1-s2),R=INF,mid=(L+R)>>1;
	while(L<=R)
	{
		if(check(mid)) R=mid-1;
		else L=mid+1;mid=(L+R)>>1;
	}
	printf("%d\n",L);return 0;
}