线性代数知识点总结-优快云博客

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行列式

1.什么是行列式

行列式是一个数学概念，主要用于线性代数中，它是一个可以从方阵（即行数和列数相等的矩阵）形成的一个标量（即一个单一的数值）。

2.二阶行列式

二阶行列式定义：
$det(A)=\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}-a_{12} a_{12}$
$a_{ij}$ 叫做行列式的元素，i为行标，j为列标

二阶行列式计算：对角线法

在这里插入图片描述

图中红色线为主对角线，蓝色线为副对角线

例：计算行列式
$\left| \begin{array}{cc} 1& 2\\ 3&4 \end{array} \right|$
根据公式计算：
$det(A)=\left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right|=1\times 4-2\times3=-2$

3.三阶行列式

三阶行列式：
$det(A)=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right|$
对角线法则计算：

$\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right|$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

上三角形行列式：
$\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ & a_{22} & a_{23} \\ & & a_{33} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}a_{33}$
下三角形行列式：
$\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & & \\ a_{12} & a_{22} & \\a_{13} &a_{23} & a_{33} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}a_{33}$
对角形行列式：
$\det(A) = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & & \\ & a_{22} & \\ & & a_{33} \end{array} \right|=a_{11}a_{22}a_{33}$

4.n阶行列式

4.1 排列

排列是指从一组元素中选出若干个元素，并按照一定的顺序排列起来。对于一个包含 n 个元素的集合，其所有元素的全排列数目是 n!（即 n 的阶乘）。

4.2 逆序

逆序是指在一个排列中，如果一个较大的数排在一个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。逆序的总数称为逆序数。逆序数可以帮助我们理解排列的“混乱”程度。

例如，在排列 (3,1,4,2) 中，逆序有：

3 和 1 构成一个逆序
3 和 2 构成一个逆序
4 和 2 构成一个逆序

因此，这个排列的逆序数是 3。逆序的表示符号为N或者为τ(读作涛)

逆序数的计算

计算一个排列的逆序数可以通过遍历排列中的每一对元素来实现。具体步骤如下：

对于排列中的每一个元素，计算它后面有多少个比它小的元素。
将这些计数相加，得到总的逆序数。

例如，计算排列 (3,1,4,2)的逆序数：

元素 3 后面有2比它小的元素(1, 2)，逆序数为 2。
元素 1 后面没有比它大的元素，逆序数为 0。
元素 4 后面有1个比它大的元素(1)，逆序数为 1。
元素 2 是最后一个元素，逆序数为 0。

总的逆序数为N2+0+1+0=3

4.3 奇排列和偶排列

如果一个排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；如果是偶数，则称该排列为偶排列。

例如：

N(1432) = 3，则1432为奇排列；N(4321)=6，则4321为偶排列

4.4 对换

对排列中的任意两个元素进行交换（称为对换），会改变排列的奇偶性。即，奇排列经过一次对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。

例如：

N(651243)=10，为偶排列，将5和1兑换，则N(615243)=9，为奇排列

4.5 n阶行列式定义

以3阶行列式为例：
$det(A)=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right|$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$
从上述公式可以看出：

3阶行列式按行展开后为6项，每项为3个不同行不同列的3个元素相乘

aij元素的行标i都是123的自然排列

aij元素列标j则为：123、231、312、321、213、132，总数为3!=6

分别计算列标排列的逆序数：

N(123) = 0 偶数

N(231) = 1 + 1 = 2 偶数

N(312) = 2 偶数

N(321) = 2 + 1 = 3 奇数

N(213) = 1 奇数

N(132) = 1 奇数

通过观察公式可以看出，逆序数为偶数的排列的运算符号为+，为奇数的排列的运算符号为-

总结：

1.行标取自然排列

2.不同行不同列的3个元素相乘

3.列标取排列的所有可能

4.列标排列的逆序数的奇偶性决定运算符号，逆序数为偶数的运算符号为+，奇数的运算符号为-

从3阶行列式扩展到n阶行列式：
$\det(A) = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right|$
其中，aij是行列式的元素，i是行标，j是列标

定义：

1.按行展开：

$\det(A) = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right|$
$=\sum_{j_{1}j_{2}...j_{n}}(-1)^{N(j-{1}j_{2}...j_{n})}a_{{1}j_{1}}a_{{2}j_{2}}...a_{{n}j_{n}}$

行标取自然排列
不同行不同列的n个元素相乘
列标取排列的所有可能
列标排列的逆序数的奇偶性决定运算符号，逆序数为偶数的运算符号为+，奇数的运算符号为-

2.按列展开
$\det(A) = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right|$

$=\sum_{i_{1}i_{2}...i_{n}}(-1)^{N(i-{1}i_{2}...i_{n})}{a_{i_{1}1}}{a_{i_{2}2}}...{a_{i_{n}n}}$
与按行展开类似，只是展开时行变成列：

列标取自然排列
不同行不同列的n个元素相乘
行标取排列的所有可能
行标排列的逆序数的奇偶性决定运算符号，逆序数为偶数的运算符号为+，奇数的运算符号为-

4.6 特殊n阶行列式

1.行列式某一行(列)全为0，则行列式为0

2.三角形行列式等于对角线元素的乘积

3.-三角行列式

逆序数N(n(n-1)…1)=(n-1)+(n-2)+…+1=n(n-1)/2

5.行列式性质

性质1：行列式的转置等于行列式本身。
$det(A)^T=det(A)$
其中，A是一个方阵，A^T表示 A 的转置矩阵。

这个性质的证明可以通过行列式的定义和性质来进行。转置行列式的列是行列式的行，即转置行列式按列展开得到的排列和逆序数与行列式按行展开得到的排列和逆序数一样，因此行列式的值保持不变。

性质2：交换行列式的两行会导致行列式的值变为其原来的相反数。

设 A是一个 n×n的行列式，如果交换 A的第 i 行和第 j 行（其中 i≠j），得到的新矩阵记为 B，那么有：
$det(B)=-det(A)$
交换两行相当于在排列中交换两个元素，这会改变逆序数的奇偶性，从而使得行列式的值变为其原来的相反数。

假设：

现在将第一行和第二行交换

此时交换前行列式的逆序数为
$(-10)^{N(j_{1}j_{2}...j_{n})}$
交换后行列式的逆序数为
$(-1)^{N(j_{2}j_{1}...j_{n})}$
从逆序数中看出，i1和i2进行了互换，则奇偶性也会发生改变，因此得出：
$det(B)=-det(A)$
推论：行列式两行(列)相等，则行列式为0

性质3：用k乘以行列式某一行的所有元素，等于用k乘以行列式

将k提取出来

推论：如果行列式的某一行（或某一列）的所有元素都有公因子 k，那么这个公因子 k可以提取到行列式外面一次。

推论：如果一个行列式的两行（或两列）对应成比例，那么这个行列式的值必定为零。

性质4：如果一个行列式的某一行（或某一列）是两个数之和，那么这个行列式可以表示为两个行列式的和。

数学符号表示为：

设 A 是一个 n×n的矩阵，如果 A 的第 i行的每个元素是两个数之和，即第i行的每个元素可以表示为
$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$
那么矩阵 A 可以分解为两个矩阵 B 和 B，其中 B 的第 i 行的每个元素是bij，C 的第 i行的每个元素是 cij，其余行与A 相同。那么有：
det⁡(A)=det⁡(B)+det⁡(C)
例如：

性质：将行列式的某一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上，行列式的值保持不变。（常用）

数学符号表示为：

设 A 是一个 n×n的矩阵，如果将 A 的第i 行的每个元素乘以一个数k，然后将得到的结果加到第j行的对应元素上，得到的新矩阵记为 B，那么有：
det⁡(B)=det⁡(A)
这个性质的证明可以通过行列式的性质来进行。我们可以利用行列式的线性性质和交换两行行列式值变符号的性质来证明这一点。

假设 A
$det(A)=\left | \begin{array}{ccc}a&b&c\\1&2&3\\m&n&p \end{array} \right |$
将A的第i行的每个元素乘以一个数 k，然后将得到的结果加到第 j 行的对应元素上，得到的新矩阵 B。
$\det(B) = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 1+k_a & 2+k_b & 3+k_c \\ m & n & p \end{array} \right|$
将B再进行拆分：

结合这两个等式，我们得到：
det⁡(B)=det⁡(A)